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Dada a função [tex3]f:\, \Re^2\, \to\, \Re[/tex3] definida por [tex3]f(x,\, y)=xy-x^2-y^2-2x-y+4,[/tex3] determine seus ponto críticos e suas naturezas.

[tex3]f(x,y)=xy-x^2-y^2-2x-y+4[/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y-2x-2\\\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x-2y-1[/tex3]

Vamos encontrar os pontos críticos de [tex3]f[/tex3]
[tex3]\begin{cases}-2x+y-2=0 \\ x-2y-1=0\end{cases}\implies \begin{cases}-2x+y-2=0\\2x-4y-2=0\end{cases}[/tex3]
Somando as duas equações temos que [tex3]-3y-4=0\implies y=-\frac43[/tex3]
[tex3]\implies x+\frac83-1=0\implies x=-\frac53[/tex3]

Então temos que [tex3]\left(-\frac53,-\frac43\right)[/tex3] é o único ponto crítico de [tex3]f[/tex3].

Vamos calcular as segunda derivadas para calcular o Hessiano.
[tex3]\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}(x,y)=-2\\\frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}(x,y)=-2\\\frac{\partial ^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=1[/tex3]

[tex3]\implies H\left(-\frac53,-\frac43\right)=\det \begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 1 & -2 \\ \end{pmatrix}=4-1=3[/tex3]

Então temos que [tex3]H\left(-\frac53,-\frac43\right)>0[/tex3] e [tex3]\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}\left(-\frac53,-\frac43\right)<0\implies[/tex3] [tex3]\left(-\frac53,-\frac43\right)[/tex3] é ponto de máximo local.

Espero ter ajudado .