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Qual é a soma dos algarismos do inteiro mais próximo de [tex3]\underbrace{\sqrt{111\ldots 1}}_{\text{1000 uns}}[/tex3]?

Se testarmos:

[tex3]\sqrt{11}=3,316624 \\ \sqrt{1111}=33,331666 \\ \sqrt{111111}=333,333166[/tex3]

Percebemos um padrão, quando houver [tex3]n[/tex3] algarismos 1 dentro da raiz, com [tex3]n[/tex3] sendo um número par, haverá [tex3]\frac{n}{2}[/tex3] algarismos 3 antes da vírgula. Como a parte decimal sempre será menor que 0,5, o inteiro mais próximo será seu antecessor e não seu sucessor. Ex: 33,331666 está mais próximo de 33 do que de 34.

Usando isso temos que o número inteiro mais próximo de [tex3]\underbrace{ \sqrt{111...11} }_{1000vezes}[/tex3] será [tex3]\underbrace{ 333...33}_{\text{500 vezes}}[/tex3]

Então a soma será:

[tex3]S=\underbrace{3+3+3+...+3+3 }_{\text{500 vezes}}=500\cdot 3=\boxed{1500}[/tex3]

Lembre-se que não se pode assumir nada em matemática, como assumir que esse padrão com os [tex3]3[/tex3] vão continuar. Uma maneira mais garantida:

[tex3]1=\frac{10^1-1}{9}\\
11=\frac{10^2-1}{9}\\
111=\frac{10^3-1}{9}\\
\vdots\\
\underbrace{111\,\ldots\, 111}_{n uns}=\frac{10^{n}-1}{9}[/tex3]

Assim [tex3]\underbrace{111\ldots111}_{1000 uns}=\frac{10^{1000}-1}{9}[/tex3]

[tex3]\sqrt{\frac{10^{1000}-1}{9}}=\frac{\sqrt{10^{1000}-1}}{3}[/tex3]

Aí como [tex3]\frac{10^{500}-1}{3}<\frac{\sqrt{10^{1000}-1}}{3}<\frac{10^{500}}{3}[/tex3] , e [tex3]\frac{10^{500}-1}{3}+1=\frac{10^{500}+2}{3}[/tex3] , o inteiro mais próximo de [tex3]\frac{\sqrt{10^{1000}-1}}{3}[/tex3] é [tex3]\frac{10^{500}-1}{3}[/tex3] , que tem [tex3]n=500[/tex3] algarismos [tex3]3[/tex3] .
Cuja soma é [tex3]1500[/tex3]