Ensino Superior ⇒ Infinitivamente Grandes e Infinitésimos

[olgario]

Dada a sucessão [tex3]a_n[/tex3] tal que:

[tex3]a_n\,=\,\frac{2^{n+3}}{1\,+\,3^n}[/tex3]

Averigue se é um infinitésimo ou infinitamente grande, e enuncie todos os teoremas que utilizou para chegar á conclusão.

Att.
olgario

[lftm]

Não entendi, você tá procurando o valor para o qual a sequência converge?

[tex3]a_n = \frac{8 \times 2^n}{1 + 3^n} = \frac{8}{2^{-n}+(3/2)^n}[/tex3]

[tex3]2^{-n}=\left( \frac{1}{2} \right)^n[/tex3] tende a zero quando n vai para infinito e [tex3]\left( \frac{3}{2} \right)^n[/tex3] vai para infinito, pois [tex3]\frac{1}{2} < 1 < \frac{3}{2}[/tex3].

Assim, o denominador fica infinitamente grande e a fração tende a zero.

[olgario]

Olá lftm!
Sim. É isso que eu estou procurando. Tal como digo por baixo da questão enunciada.Dada a sucessão [tex3]a_n[/tex3] tal que:

[tex3]a_n\,=\,\frac{2^{n+3}}{1\,+\,3^n}[/tex3]

Averigue se é um infinitésimo, ou infinitamente grande, e enuncie todos os teoremas que utilizou para chegar á conclusão.
Efetivamente, a solução que o livro dá, é a que você deu. A fração, no seu todo ,tende para zero.

O livro de onde tirei o problema, dá uma solução mais complexa, que vou passar a expor:

[tex3]\frac{2^{n+3}}{1+3^n}\,\lt\,\frac{2^{n+3}}{3^n}[/tex3] para [tex3]n\,\geq\,1[/tex3].

[tex3]\frac{2^{n+3}}{3^n}\,=\,\frac{2^n.2^3}{3^n}\,=\,\left(\frac{2}{3}\right)^n . \,8[/tex3]

[tex3]\left(\frac{\,2\,}{3}^n \right)\,\rightarrow 0[/tex3]

( se [tex3]\,-1\,\lt\,a\,\lt\,1,[/tex3]
então [tex3]a^n \, \rightarrow 0[/tex3]).

[tex3]8.\left(\frac{2}{3}\right)^n \,\rightarrow 0[/tex3] ( se multilicarmos um infinitésimo por um número real obtemos um infinitésimo).Teorema - 6

Como [tex3]\left|\frac {2^{n+3}}{1+3^n}\right|\,=\,\frac{2^{n+3}}{1+3^n}[/tex3], então

[tex3]\left|\frac{2^{n+3}}{1+3^n}\right|\,\lt\,8.\left(\frac{2}{3}\right)^n[/tex3], para [tex3]n\,\geq\,1[/tex3].

Logo,[tex3]\frac{2^{n+3}}{1+3^n} \rightarrow 0[/tex3]

(se [tex3]|U_n|\,\leq\,\forall\,_n\,[/tex3] a partir de uma certa ordem, e [tex3]V_n \,\rightarrow 0[/tex3], então [tex3]U_n \,\rightarrow 0)[/tex3]

Esta é uma matéria que eu estou começando a dar, e me está sendo difícil entender alguns Teoremas de modo a pô-los em prática.

Por exemplo, não entendi, de todo, onde você, tal como os autores do livro, nesta solução que eu aqui enuncio, foram buscar aquele número 8.
Se estiver disposto a me explicar mais em detalhe, esse e outros permonores, relativos á "desmontagem" da fração, lhe fico imensamente grato.

Att.
olgário

[olgario]

Já agora,sem querer abusar da sua boa vontade, pedia-lhe que me resolvesse a seguinte questão:

Qual o limite da seguinte sucessão:

[tex3]2\sqrt{n}\,+\,\frac{n+1}{3^n}[/tex3]

Segundo o livro donde tirei a questão, a solução, tende para + infinito.

Vejamos:

[tex3]\sqrt {n} \rightarrow +\infty[/tex3]

[tex3]2\sqrt {n} \rightarrow +\infty[/tex3]

[tex3]\frac{n+1}{3^n}\,=\,\frac{1}{3^n}.(n+1)[/tex3]

[tex3]3^n\,\rightarrow +\infty[/tex3]

Logo, [tex3]\frac{1}{3^n}\rightarrow 0[/tex3]

[tex3]n \rightarrow \infty[/tex3]

Logo, [tex3](n+1) \rightarrow +\infty[/tex3].
Agora no caso de [tex3]\;\frac{1}{3^n}\;[/tex3] que tende para zero, a multiplicar por [tex3]\,(n+1)\,[/tex3] que tende para mais infinito
se obtém o quê ?

Se obtém [tex3]0\, \times\,\infty[/tex3], que creio ser uma indeterminação.

E esta indeterminação somada com [tex3]+ \infty[/tex3] resultante de [tex3]2\sqrt{n}[/tex3] o que é que dá ?

Está vendo, é esta uma das minhas dúvidas, tentar chegar á resolução destas questões, de uma forma simples, aplicando os Teoremas, que ao todo são nove, os quais creio que você saberá, e estão todos eles, no capítulo do Ensino Médio. Pois coloquei lá uma série de questões destas, que ninguém resolveu.

Se quiser dar uma olhada nelas lá , e me dar umas dicas, fico grato.

Eu já resolvi quase todas elas lá, mas não as postei. Não sei se os métodos que usei estão corretos.
Se ninguém as resolver, qualquer dia posto as minhas soluções delas lá, para você ou alguém mais, me dizer se estão certas ou erradas.

[lftm]

Foi mal por responder tarde. Sempre me enrolo nos tópicos por aqui.

Normalmente o que eu avalio para encontrar limites de sequências tendendo ao infinito é a "taxa de crescimento" do numerador e do denominador. Funções polinomiais crescem mais rapidamente que qualquer logarítmica por exemplo e, exponenciais de base maior que 1 crescem mais rápido que qualquer polinomial. Quando o numerador cresce mais rápido que o denominador, o limite é infinito, quando o denominador cresce mais rápido, o limite é zero e quando os dois tem a mesma taxa de crescimento, é um valor finito maior que zero (se a sequência for positiva obviamente).

Claro, essa forma de raciocinar não é muito rigorosa, mas se você pensar que o crescimento do polinômio depende só do termo de maior grau e da exponencial depende de tão grande quanto seja sua base, você consegue saber o limite só de bater o olho. Na sua primeira questão, 2^n cresce bem mais devagar do que 3^n, então eu já sabia que ia dar zero e só multipliquei os dois termos da fração de modo que o numerador ficasse constante e só o denominador variasse. Na segunda, a parcela da direita tende a zero, pois qualquer exponencial cresce mais rápido que uma polinomial.

Isso quer dizer que, em algum momento 3^n vai ser maior que n^2 por exemplo e você pode provar que esse limite tende a zero. Normalmente, esse raciocínio de "em algum momento fica maior" é provado por indução.

Provemos que [tex3]3^n > n^2[/tex3] para n>=1. Para o caso base n=1, basta checar.
Agora, assuma que é verdade para n e prove para n+1: [tex3]3^n > n^2 \Rightarrow 3^{n+1} > 3n^2 > (n+1)^2[/tex3]

Logo, [tex3]0<\frac{n+1}{3^n}<\frac{n+1}{n^2}[/tex3]. A sequência está entre duas outras sequência que tendem a zero. Pelo teorema do confronto, ela também tende a zero.

Como [tex3]\sqrt{n}[/tex3] vai para infinito o limite da soma é infinito.