Ensino Superior ⇒ Definição de Limite Tópico resolvido

[poti]

Prove que existe [tex3]\delta > 0[/tex3] tal que

[tex3]1 - \delta < x < 1 + \delta \Rightarrow 2 - \frac{1}{3} < x^2 + x < 2 + \frac{1}{3}[/tex3].

[andrecaldas]

Bom, se [tex3]\delta > 0[/tex3] satisfizer
1. [tex3](1+\frac{\delta}{2}) < 1 + \frac{1}{6}[/tex3]
e
2. [tex3](1+\frac{\delta}{2})^2 < 1 + \frac{1}{6}[/tex3],
você terá que, para x menor que [tex3]1 + \delta[/tex3],
[tex3]x^2 + x < (1+\frac{\delta}{2})^2 + (1+\frac{\delta}{2}) < 2 + \frac{1}{3}[/tex3].

Bom, se [tex3]\delta < \frac{1}{3}[/tex3], o item (1) será satisfeito.
E se [tex3]\delta + \frac{\delta^2}{4} < \frac{1}{6}[/tex3], o item (2) será satisfeito.
Então, se [tex3]\delta < \frac{1}{12}[/tex3], além do item (1), teremos que
[tex3]\delta + \frac{\delta^2}{4} \leq \delta + \delta^2 \leq 2 \delta < \frac{1}{6}[/tex3].

Pro delta negativo é só fazer parecido.