Ensino Superior ⇒ Limite. (Livro: James Stewart).2

[Auto Excluído (ID:276)]

E neste problema eu gostaria de confirmar minha resposta, pois que no livro só tem gabarito dos exercícios ímpares kkkkk . eu nunca vi isso na minha vida...

Encontre números a e b tais que [tex3]\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{ax+b} - 2}{x} = 1[/tex3]

[hygorvv]

[tex3](x+2)^{2}=ax+b[/tex3]
[tex3]x^{2}+4x+4=ax+b[/tex3]
[tex3]b=4[/tex3]
[tex3]a=4[/tex3]

prova
[tex3]\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{4(x+1)}-2}{x}[/tex3]
[tex3]\lim_{x \to 0}{\frac{2\sqrt{x+1}-2}{x}}[/tex3]
[tex3]2\cdot \lim_{x \to 0}{\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}}[/tex3]

Chamaremos [tex3]x+1=t[/tex3]
quando [tex3]x \to 0[/tex3], [tex3]t \to 1[/tex3]
ficando
[tex3]2\cdot \lim_{t \to 1}{\frac{\sqrt{t}-1}{t-1}}[/tex3]
multiplica pelos conjugados
[tex3]2\cdot \lim_{t \to 1}{\frac{(\sqrt{t}-1)(\sqrt{t}+1)(t+1)}{(t-1)(\sqrt{t}+1)(t+1)}}[/tex3]
[tex3]2\cdot \lim_{t \to 1}\frac{(t-1)(t+1)}{(t-1)(t+1)(\sqrt{t}+1)}[/tex3]
[tex3]2\cdot \lim_{t \to 1}\frac{1}{\sqrt{t}+1}=2\cdot \frac{1}{2}=\boxed{1}[/tex3]

espero que seja isso

[Natan]

Vou postar a maneira como eu tinha pensado,

[tex3]\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{ax+b} - 2}{x}[/tex3]

fazemos a seguinte mudança:

[tex3]\begin{cases} ax+b=t^2 \\ x \to 0\, t \to\sqrt{b}\end{cases}[/tex3]

e ficamos com:

[tex3]a\lim_{t \to\sqrt{b}} \frac{t-2}{t^2-b}[/tex3] e daí temos as seguintes possibilidades:

Se [tex3]b \neq 4[/tex3] o numerador tenderá ao valor [tex3]\sqrt{b}-2[/tex3] enquanto que o denominador tenderá a 0 fazendo com que o quociente vá para [tex3]\pm \infty,[/tex3] impossibilitando assim que o limite resulte 1 independentemente da escolha de [tex3]a[/tex3] que fizermos.

Se [tex3]b=4[/tex3]

[tex3]a\lim_{t \to 2} \frac{t-2}{t^2-4}=\frac{a}{4}[/tex3] donde devemos escolher [tex3]a=4[/tex3] para que tenhamos 1 como o limite.

[Auto Excluído (ID:276)]

Po! eu achei [tex3]b=4[/tex3] , [tex3]a \in \left]- \infty , + \infty \right[[/tex3]. Esperemos por uma resolução mais elaborada...

[Natan]

Pedro123 essa não pode ser a solução,

veja, como podemos tomar qualquer valor de a, vou escolher [tex3]a=1[/tex3] então, e daí ficamos com:

[tex3]\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{ax+b} - 2}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}[/tex3]

daí racionalizamos o numerador:

[tex3]\lim_{x \to 0} \frac{\cancel{x}}{\cancel{x}(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{4} \neq 1[/tex3]

logo já tem um valor de a no seu intervalo que não deixa o limite ser 1.