Pré-Vestibular ⇒ (UNESP - 1999) Polinômios

[HEITORSONIC]

me ajudem a fazer essa questão por favor?

Considere o polinomio p(x)=[tex3]x^3 - m x^2 + m^2 x - m^3[/tex3],em que m pertence aos Reais. Sabendo-se que 2i é raiz de p(x),determine:

a) os valores que [tex3]m[/tex3] pode assumir;
b) Dentre os valores de m encontrados em [tex3]a[/tex3], o valor de [tex3]m[/tex3] tal que o resto da divisão de p(x) por (x-1) é -5

[fabit]

Com todos os coeficientes pertencendo aos reais, se 2i é raiz, -2i também tem que ser.

Então [tex3]x^3-mx^2+m^2x-m^3[/tex3] tem que ser divisível pelo produto [tex3](x-2i)(x-(-2i))=x^2-4i^2=x^2+4[/tex3].

Fazendo essa divisão, encontra-se resto [tex3](m^2-4)x-m(m^2-4)[/tex3]. Se a divisão tem que ser exata, esse resto deve ser igualado ao identicamente nulo 0x+0, o que resulta [tex3](m^2-4)=0\Rightarrow\boxed{m=\pm2}[/tex3]. Isso conclui o item a.

No item b, o polinômio é [tex3]x^3-2x^2+4x-8[/tex3] se m=2 ou [tex3]x^3+2x^2+4x+8[/tex3] se m=-2. No primeiro caso, o resto da divisão por x-1 fica -5, que é o que se quer. Só por desencargo fiz a outra divisão e deu 15. Então é [tex3]\boxed{m=2}[/tex3] mesmo.