Ensino Médio ⇒ Questão de Geometria (Morgado 2) Tópico resolvido

[Pedro321]

Considere dois círculos de centros A e B e raios a e b, respectivamente, estando B sobre o cículo de centro A. Se MN é uma corda do círculo de centro A, tangente ao círculo de centro B, o produto BM.BN, vale:

a) ab/2

b)ab

c)2ab

d)a2 (a ao quadrado)

e)b2 (b ao quadrado)

[petrasMOD]

Pedro321,

[tex3]MO=NO=x\\
BO.CO = MO.NO \implies b.(2a-b)=x^2(I)\\
\triangle BOM:BM^2 = OM^2+OB^2=x^2+b^2(II)\\
(I)em(II): BM^2 = 2ab-b^2+b^2=2ab\\
Mas~BM=BN \therefore \boxed{BM.BN = 2ab}[/tex3]
(Solução:Elcioschin)

[FelipeMartinMOD]

petras, por que o ponto A está na reta BO?

[petrasMOD]

FelipeMartin,

Não seria uma posição específica que ele escolheu?..Uniu os 2 centros e traçou a corda pelo ponto de tangência?

[FelipeMartinMOD]

petras, não dá pra provar um resultado geral a partir de uma posição específica. Teria que explicar por que o ponto [tex3]A[/tex3] está sempre na reta unindo [tex3]B[/tex3] ao ponto de contato.

[petrasMOD]

FelipeMartin,

C é a interseção prolongamento de BA até o círculo menor
Unir CM, CN e BO
CMNB é cíclico

[tex3]\angle NMB \cong \angle NCB \implies \triangle MOB \sim \triangle NCB\\
\therefore \frac{BO}{BN}=\frac{BM}{BC}\implies \frac{b}{BN}=\frac{BM}{2a} \therefore \boxed{BM.BN=2ab}[/tex3]

[FelipeMartinMOD]

petras, perfeito. Agora sim.