IME / ITA ⇒ (ITA 1961) Polinômios Tópico resolvido

[HEITORSONIC]

me ajudem a fazer essa questão?

Qual a condição necessaria necessária e suficiente que devem satisfazer [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] de modo que [tex3]P(x)= x^p+2a^qx^{p-q}+a^p[/tex3] seja divisivel por [tex3]x+a[/tex3] ([tex3]p[/tex3], [tex3]q[/tex3] pertencem a [tex3]\mathbb{N}[/tex3] e [tex3]p\gt q[/tex3])

[FilipeCaceres]

Para que [tex3]P(x)[/tex3] seja divisivel por [tex3]x+a[/tex3] devemos ter [tex3]P(-a)=0[/tex3], sendo assim temos:
[tex3]P(-a)=(-a)^p+2a^q\cdot (-a)^{p-q}+a^p[/tex3]

Se p for par temos,
[tex3]P(-a)=2a^p+2a^q\cdot (-a)^{p-q}[/tex3]

Agora vamos analisar.
Se q for par, então [tex3]p-q[/tex3] também será par, e desta forma teremos,
[tex3]P(-a)=2a^p+2a^q\cdot a^{p-q}\neq 0[/tex3]

Se q for ímpar, então [tex3]p-q[/tex3] também será ímpar, e desta forma teremos,
[tex3]P(-a)=2a^p-2a^q\cdot a^{p-q}=0[/tex3], como queríamos encontrar.

Desta forma, devemor ter: p par, e q ímpar.

Abraço.

[TristezaFria]

Por que [tex3]P(-a)=2a^p+2a^q.a^{p-q}[/tex3] é diferente de zero?

[grzlrlph]

Por que [tex3]P(-a)=2a^p+2a^q.a^{p-q}[/tex3] é diferente de zero?

porque todas as potencias terão resultado positivo, daí não tem como cancelar uma parcela com a outra, um numero negativo elevado a um expoente par sempre dá um numero positivo
Ex.: [tex3](-4)^{2}[/tex3]=(-4)*(-4)=16; [tex3](-3)^{2}[/tex3]=(-3)*(-3)=9