Cheguei numa solução, mas estou meio embolado com ela. Tem o gabarito?
b) mínima
Para que a área seja mínima, a medida do maior cateto deverá ser o inteiro mais próximo de
[tex3]24.[/tex3] Encontrei para medida do maior cateto
[tex3]32\text{m}.[/tex3]
- [tex3]2p =24 + 32 + 40 = 96\text{m}[/tex3]
a) máxima
- [tex3](40 + y)^2 = (32 + x)^2 + 24^2[/tex3]
- [tex3]32^2 = 1024[/tex3]
[tex3]33^2 = 1024 + 65[/tex3]
[tex3]34^2 = 1024 + 65 + 67[/tex3]
[tex3]40^2 = 1600[/tex3]
[tex3]41^2 = 1600 + 81[/tex3]
[tex3]42^2 = 1600 + 81 + 83[/tex3]
Analisando a tabela acima, vemos que no intervalo de
[tex3]65[/tex3] a
[tex3]79[/tex3] a soma é justamente
[tex3]576 = 24^2 .[/tex3] Ou seja, quando o crescimento do cateto parar, o da hipotenusa se estenderá até que a soma desse prolongamento seja
[tex3]576.[/tex3] Sendo assim é necessário que ambos cresçam para que a relação se mantenha.
Aí eu fiz
[tex3]576[/tex3] sendo soma de dois números ímpares consecutivos:
[tex3]287[/tex3] e
[tex3]289.[/tex3] A progressão da hipotenusa teria
[tex3]105[/tex3] somas
[tex3]( 289 = 81 + 2n - 2\Rightarrow n = 105).[/tex3] Ou seja, a hipotenusa valeria
[tex3]40 + 105 = 145.[/tex3] Bem, se foi preciso dois números consecutivos após o término da progressão do cateto, concluímos que o cateto terminou sua progressão em
[tex3]285.[/tex3] Achamos o número
[tex3]285 = 65 + 2n - 2\Rightarrow n = 111[/tex3]. O cateto valerá
[tex3]111 + 32 = 143.[/tex3]
- [tex3]2p=143 + 145 + 24 = 312\text{m}.[/tex3]
Desculpem-me pela possível enrolação, eu estou embolado.