Dica nº1: Nesse tipo de questão com "entidades desconhecidas" é sempre bom começar fazendo uma pequena exploração, para encontrar valores e propriedades.
Dica nº2: Quando esses problemas fornecem um polinômio ou função com alguma condição muito extravagante, geralmente apenas poucas funções e polinômios satisfazem a mesma, então pode ser mais útil tentar provar que a partir de um certo ponto você não terá solução;
- Solução trivial: [tex3]P(x)=0[/tex3]
[tex3]P(a-b) + P(b-c) + P(c-a)=2P(a + b + c)[/tex3]
[tex3]0+0+0=2\cdot0[/tex3]
[tex3]0=0[/tex3]
- Se [tex3]a=b=c=0[/tex3]:
Podemos ver que isso satisfaz [tex3]ab + bc + ca=0[/tex3] (vou chamar isso de C1), então:
[tex3]P(0)+P(0)+P(0)=2P(0+0+0)[/tex3]
[tex3]3P(0)=2P(0)[/tex3]
[tex3]P(0)=0[/tex3]
- Se [tex3]a=0[/tex3]
[tex3]P(a-b) + P(b-c) + P(c-a)=2P(a + b + c)[/tex3]
[tex3]P(-b) + P(b-c) + P(c)=2P( b + c)[/tex3]
[tex3]P(c)+P(-b) =2P( b + c)-P(b-c)[/tex3]
Por C1, temos:
[tex3]0\cdot b+bc+0\cdot c=0[/tex3]
[tex3]bc=0[/tex3]
[tex3]b=0[/tex3] e [tex3]c=0[/tex3]
Se [tex3]b=0[/tex3]
[tex3]P(c)+P(0) =2P( c)-P(-c)[/tex3]
[tex3]P(-c)=2P( c)-P(c)[/tex3]
[tex3]P(-c)=P( c)[/tex3]
Se [tex3]c=0[/tex3]
[tex3]P(0)+P(-b)=2P(b)-P(b)[/tex3]
[tex3]P(-b)=P(b)[/tex3]
Como aqui
[tex3]b[/tex3] ou
[tex3]c[/tex3] podem ser qualquer real, e C1 será satisfeita, então temos que:
[tex3]P(-x)=P(x), \,\,\forall \,\,x \in \mathbb{R}[/tex3]
Com isso, podemos provar a seguinte afirmação:
Se
[tex3]P(-x)=P(x)[/tex3], então todos os termos de
[tex3]P[/tex3] possuem grau par.
Demonstração:
Se [tex3]P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n[/tex3], então
[tex3]P(-x)=a_0+a_1(-x)+a_2(-x)^2+...+a_{n-1}(-x)^{n-1}+a_n(-x)^n[/tex3]
[tex3]P(x)=P(-x)[/tex3]
[tex3]a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n=a_0+a_1(-x)+a_2(-x)^2+...+a_{n-1}(-x)^{n-1}+a_n(-x)^n[/tex3]
Por igualdade de polinômios temos:
[tex3]\begin{cases}
a_0=a_0 \\
a_1x=a_1(-x)\implies a_1x=-a_1x\implies a_1=0 \\
a_2x^2=a_2(-x)^2\implies a_2x^2=a_2x^2\implies a_2=a_2 \\
a_3x^3=a_3(-x)^3\implies a_3x^3=-a_3x^3\implies a_3=0 \\
...\\
a_{2k}x^{2k}=a_{2k}(-x)^{2k}\implies a_{2k}x^{2k}=a_{2k}x^{2k}\implies a_{2k}=a_{2k} \\
a_{2k+1}x^{2k}=a_{2k+1}(-x)^{2k+1}\implies a_{2k+1}x^{2k}=-a_{2k+1}x^{2k+1}\implies a_{2k+1}=0\\
...
\end{cases}[/tex3]
Ou seja, todos os termos de expoentes ímpares terão seus coeficientes iguais à zero, logo, todos os termos de [tex3]P[/tex3] possuem grau par, c.q.d
Também temos que
[tex3]P(0)=0\implies a_0=0[/tex3]. Assim,
[tex3]P(x)=a_2x^2+a_4x^4+...+a_{2n}x^{2n}[/tex3]
Agora vem aquele momento de questões de olimpíadas em que você faz algo aparentemente do nada, mas na verdade é pensado:
Podemos ver que
[tex3]a=6u[/tex3],
[tex3]b=3u[/tex3] e
[tex3]c=-2u[/tex3] satisfazem C1:
[tex3]ab+bc+ac=0[/tex3]
[tex3]6u\cdot 3u+6u\cdot (-2u)+3u\cdot(-2u)=0[/tex3]
[tex3]18u^2-12u ^2-6u^2=0[/tex3]
Assim, vemos que a trinca satisfaz C1 para todo
[tex3]u\in \mathbb{R}[/tex3].
Substituindo-a na equação:
[tex3]P(a-b) + P(b-c) + P(c-a)=2P(a + b + c)[/tex3]
[tex3]P(6u-3u) + P(3u+2u) + P(-2u-6u)=2P(6u + 3u -2u)[/tex3]
[tex3]P(3u) + P(5u) + P(-8u)=2P(7u)[/tex3]
[tex3]P(3u) + P(5u) + P(-8u)=2P(7u)[/tex3]
Sabemos que
[tex3]P(x)=P(-x)[/tex3], então
[tex3]P(-8u)=P(8u)[/tex3]. Vamos analisar os outros:
[tex3]P(3u)=a_2 (3u)^2+a_4(3u)^4+...+a_n(3u)^n[/tex3]
[tex3]P(3u)=3^2a_2u^2+3^4a_4u^4+...+3^na_nu^n[/tex3]
[tex3]P(5u)=5^2a_2u^2+5^4a_4u^4+...+5^na_nu^n[/tex3]
[tex3]P(8u)=8^2a_2u^2+8^4a_4u^4+...+8^na_nu^n[/tex3]
[tex3]P(7u)=7^2a_2u^2+7^4a_4u^4+...+7^na_nu^n[/tex3]
Queremos que a soma dos três primeiros seja igual ao dobro do quarto para todo
[tex3]u\in \mathbb{R}[/tex3]. Então, podemos comparar o coeficiente do termo de maior grau:
[tex3]3^na_n+5^na_n+8^na_n=2\cdot7^na_n[/tex3]
Considerando
[tex3]a_n\neq0[/tex3]:
[tex3]3^n+5^n+8^n=2\cdot7^n[/tex3]
Devido, possuir uma base maior,
[tex3]8^n[/tex3] irá superar
[tex3]2\cdot7^n[/tex3] a partir de algum valor. Podemos verificar que isso acontece quando
[tex3]n\geq6[/tex3]. Assim, só teremos solução para
[tex3]6>n[/tex3]. Porém, como
[tex3]P(x)[/tex3] possui apenas termos de grau par, as únicas possibilidades para
[tex3]n[/tex3] são
[tex3]2,4[/tex3]
Assim, temos que
[tex3]P(x)=ax^2+bx^4[/tex3]