Estude! Com Prof. Caju

Seja [tex3]\bar{Z}[/tex3] o conjugado de um número complexo [tex3]Z = \frac{1}{2} + i\frac{1}{2}[/tex3]. A sequência de todos os valores de [tex3]n \in \mathbb{N}[/tex3], tal que [tex3](\bar{Z})^{-n}[/tex3] seja um imaginário puro, é uma progressão:

a) aritmética com primeiro termo igual a 2 e razão 8
b) geométrica com primeiro termo igual a 2 e razão 2
c) aritmética com primeiro termo igual a 2 e razão 4
d) geométrica com primeiro termo igual a 2 e razão 1

Gabarito:

Do enunciado, podemos concluir que:
[tex3]\bar{Z}=1/2-i/2[/tex3]
Logo
[tex3]\bar{Z}^{-1}=1+i[/tex3]
[tex3]\bar{Z}^{-1}=\sqrt{2}cis(\pi/4)[/tex3]
[tex3]\bar{Z}^{-n}=2^{n/2}cis(n\pi/4)[/tex3]

Como [tex3]\bar{Z}^{-n}[/tex3] é um imaginario puro, a parte real dele deve ser nula, sendo assim:

[tex3]cis(n\pi/4)=cis(\pi/2+k\pi)[/tex3] [tex3]k\in[/tex3] naturais (do enunciado [tex3]n\in[/tex3] naturais )

[tex3]n=2 +4k[/tex3] , [tex3]k\in[/tex3] naturais
progressão aritmética com primeiro termo igual a 2 e razão 4

C

Abraço