Ensino Fundamental ⇒ Geometria Plana: Relações Métricas no Triângulo Retângulo

[_marcio]

Do meio de um segmento [tex3]\overline{AB}[/tex3] de [tex3]12\,\text{cm}[/tex3] eleva-se uma perpendicular de [tex3]2\,\text{cm}[/tex3] e faz-se passar uma circunferência pelas extremidades da perpendicular e do segmento. Faça um desenho e calcule o raio da circunferência.

[edu_landim]

Creio que a circunferência deva passa nas duas extremidades [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] do segmento e na extremidade da perpendicular [tex3]C[/tex3] externa ao segmento.

Perceba que [tex3]\Delta ABC[/tex3] é isósceles e circunscrito pela cirfunferência. Podemos aplicar pitágoras nos triângulos retângulos formados pela perpendicular obtendo os dois outros lados do [tex3]\Delta ABC[/tex3].

[tex3]a^2\,=\,2^2\,+\,6^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,a\,=\,2\sqrt{10}[/tex3]


Podemos calcular a área desse triângulo de dois modos

[tex3]A\,=\,\frac{b\,\cdot\,h}{2}\,[/tex3] e [tex3]A\,=\,\frac{a \cdot b \cdot c}{4R}[/tex3]

Assim temos

[tex3]\frac{12\,\cdot\,2}{2}\,=\,\frac{12\,\cdot\,2\sqrt{10}\,\cdot\,2\sqrt{10}}{4R}[/tex3]

[tex3]12R\,=\,120\,\,\,\Rightarrow\,\,\,R\,=\,10\,cm[/tex3]