Olimpíadas ⇒ (EUA - 2002) Números complexos

[victoria]

Sabendo que a equação [tex3]z(z+i)(z+3i)=2002i[/tex3] é da forma [tex3]a+ bi[/tex3] tal que [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são números reais positivos e diferentes de zero. Então o valor de [tex3]a[/tex3] é igual a :

a) [tex3]\sqrt {118}[/tex3]
b) [tex3]\sqrt {210}[/tex3]
c) [tex3]2\sqrt {210}[/tex3]
d) [tex3]\sqrt {2002}[/tex3]
e) [tex3]100\sqrt {2}[/tex3]

Resposta:

Resposta

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alternativa A

[poti]

Desenvolvendo a expressão, temos:

[tex3]z^3 + 4iz^2 - 3z - 2002i = 0[/tex3]

Podemos fatorar da seguinte maneira:

[tex3](z + 14i)(z^2 - 10iz - 143) = 0[/tex3]

[tex3]{-}14i[/tex3] é uma raiz, mas não interessa pra gente. As outras raízes vão sair de:

[tex3]z^2 - 10iz - 143 = 0[/tex3]

[tex3]\Delta = (-10i)^2 - 4.1.(-143) = 472[/tex3]

[tex3]z = \frac{10i \pm 2\sqrt{118}}{2} = 5i \pm \boxed{\sqrt{118}}[/tex3]