Estude! Com Prof. Caju

A respeito das combinações [tex3]a_{n} = \begin{pmatrix}
2n \\
n
\end{pmatrix}[/tex3] e [tex3]b_{n} = \begin{pmatrix}
2n \\
n - 1
\end{pmatrix}[/tex3], temos que, para cada [tex3]n = 1, 2, 3, ...[/tex3] a diferença [tex3]a_{n} - b_{n}[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\frac{n!}{n+1} a_{n}[/tex3]
b) [tex3]\frac{2}{n+1} a_{n}[/tex3]
c) [tex3]\frac{2n}{n+1} a_{n}[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{n+1} a_{n}[/tex3]
e) [tex3]\frac{n}{n+1} a_{n}[/tex3]

Olá Poti,

Observe que as alternativas estão em função de n e [tex3]a_n[/tex3], então,basicamente devemos manipular o valor de [tex3]b_n[/tex3].

Temos:
[tex3]a_n=\frac{(2n)!}{n!.n!}[/tex3]

[tex3]b_n=\frac{(2n)!}{(n-1)!(n+1)!}=\frac{(2n)!}{(n-1)!(n+1)n!}=\frac{(2n)!}{(n-1)!(n+1)n!}.\frac{n}{n}=\frac{n(2n)!}{n(n-1)!(n+1)n!}=\frac{n(2n)!}{(n+1)n!n!}=\frac{n}{n+1}.a_n[/tex3]

Portanto,
[tex3]a_n-b_n=a_n-\frac{n}{n+1}.a_n=\boxed{\frac{1}{n+1}.a_n}[/tex3]

Abraço.

Olá, boa noite!

Não consegui entender a resolução da questão, mais especificamente a partir de quando surge a expressão n(2n)!/(n+1)n!n!

Se puder me explicar melhor, ficarei agradecido.