Ensino Médio ⇒ Progressão Aritmética: Soma dos n Primeiros Termos Tópico resolvido

[patio]

A soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos da PA [tex3](-28, -24, -20,\ldots)[/tex3] é igual a [tex3]200.[/tex3] Calcular o valor de [tex3]n.[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá patio,

Achamos a razão da P.A. tomando um termo e subtraindo este termo do seu antecessor. Ou seja, se tomarmos o [tex3]{-}24[/tex3] e diminuirmos de [tex3]{-}28[/tex3] temos a razão:

• [tex3]r = -24-(-28)=-24+28=4.[/tex3]

A fórmula do [tex3]n-[/tex3] ésimo termo de uma P.A. é [tex3]a_n=a_1+(n-1)\cdot r.[/tex3] Então, [tex3]a_n=-28+(n-1)\cdot 4.[/tex3]
A fórmula da soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos de uma P.A. é [tex3]S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}.[/tex3] Sabemos que [tex3]S_n=200,[/tex3] [tex3]a_1=-28 \text{ e } a_n=-28+(n-1)\cdot 4.[/tex3] Substituindo estes valores na fórmula:

• [tex3]200=\frac{[-28+(-28+(n-1)\cdot 4)]\cdot n}{2}[/tex3]
  
  [tex3]400=(-56+4n-4)\cdot n[/tex3]
  
  [tex3]4n^2-60n-400=0[/tex3]

Podemos dividir por [tex3]4[/tex3] todos os termos desta equação

• [tex3]n^2-15n-100=0[/tex3]

Resolvendo, encontramos [tex3]n=20[/tex3] ou [tex3]n=-5.[/tex3] Como [tex3]n[/tex3] indica uma quantidade de termos, não podemos considerar o valor negativo. Ficamos então com [tex3]n=20,[/tex3] que é a resposta final.

Atenciosamente
Prof. Caju
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