Olimpíadas ⇒ Baltic Way - não sei o ano Tópico resolvido

[bryanbr2]

t é inteiro positivo!
seja um número da forma 3t + 7, prove que este número dividido pela soma de seus algarismos sempre gera um quadrado perfeito par.

o gabarito é:qualquer potência par de 10.

Tipo, eu consegui uma solução trivial que é quando t = 31 ai se torna 100/1 , mas como faço para provar que não existe solução além desta?

[FilipeCaceres]

Olá Bryan,

Acho que tem algo de errado na sua questão, veja por exemplo para t=2 ou t=3 a equação é falha, sendo assim nem sempre gera um quadrado perfeito par.

Abraço.

[lecko]

Bom ,muito boa essa questão...
acho que consegui resolver, vou postar o que fiz e vocês avaliam:
Suponhamos que [tex3]3t+7[/tex3] seja um número de [tex3]2[/tex3] algarismos, então teríamos [tex3]3t+7=10a+b[/tex3] sendo [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] os algarismos desse número.
então temos [tex3]\frac{10a+b}{a+b}=\frac{3t+7}{a+b}[/tex3]
por congruência vemos que:
[tex3]10a+10b \equiv 0 (mod a+b)[/tex3]
[tex3]10a+b+9b \equiv 0 (mod a+b)[/tex3]
[tex3]10a +b \equiv -9b (mod a+b)[/tex3]
então:
[tex3]3t+7 \equiv -9b (mod a+b)[/tex3]
Se a divisão desse número é exata então ela tem que ser congruênte a [tex3]0[/tex3], e vemos que a única maneira de isso acontecer é se [tex3]b=0[/tex3], então temos que [tex3]3t+7[/tex3] é um número terminado em [tex3]0[/tex3]
os valores de [tex3]t[/tex3] para que isso ocorra são:[tex3]t=\{1;11;21;31;41;... \}[/tex3].
Também [tex3]3t+7 \equiv 0 (moda)[/tex3] a única maneira disso sempre ser divisível é se [tex3]a=1[/tex3]
Isso excetua alguns valores de [tex3]t[/tex3], por essa condiçao os valores válidos são [tex3]t=\{1;31;331;3331;...\}[/tex3]

Mas lembremo-nos da outra condição [tex3]3t+7=k^2[/tex3] logo deve ser um quadrado perfeito.
Isso nos faz excluir [tex3]1[/tex3] dos valores de [tex3]t[/tex3], logo os valores de [tex3]t=\{31;331;3331;33331;... \}[/tex3], Se testarmos esses valores em [tex3]t[/tex3] veremos que todos geram em [tex3]3t+7[/tex3] potências de [tex3]10[/tex3].

Observando os valores de [tex3]3t+7[/tex3] descobrimos também que o número deve possuir a quantidade de algarismos [tex3](Q_a)[/tex3] de modo que [tex3]Q_a \gt 2[/tex3].

Espero que seja isso.
vlw/abraço.