Ensino Superior ⇒ Ajuda para Esboço de Gráficos, Aplicações de Derivadas e Lim

[thiagorodri]

Preciso de ajuda para para Esboço de Gráficos, Aplicações de Derivadas e Limites!

Função: y = f(x) = x / x²+9

1. Determine o domínio de f.
2. Encontre os valores onde f intercepta os eixos x e y.
3. Determine o comportamento de f para grandes valores absolutos de x.
4. Encontra todas as assíntotas horizontais e verticais de f.
5. Determine os intervalos em que f é crescente e em que f é decrescente.
6 Encontre os extremos relativos de f.
7. Determine a concavidade de f.
8. Encontre os pontos de inflexão de f.
9. Represente uns poucos pontos adicionais para ajudar a identificar a forma do gráfico de f e esboce o gráfico.

Gente, já estou neste exercício, que parece simples, há mais de 3 horas e não saio do 3º passo. Alguém me ajuda por favor!

[WMayalah]

Vou tentar te dar uma luz:

1) Domínio: Basta você analisar os casos em que há restrição para um ou mais valores de x, porque para estes poderia ocorrer alguma coisa absurda como uma divisão por zero, ou raíz negativa, por exemplo. Nesse caso não há nenhuma restrição para x, por isso dizemos que o domínio é real. D = |R .

2) Quando uma função intercepta um dos eixos em algum ponto, ela vale zero no outro. Assim, basta você calcular x=0 e f(x)=0 .

3) Provavelmente o seu professor(a) deva estar querendo que vc calcule os limites para x->-infinito e x->+infinito (x tendendo a mais infinito e x tendendo para menos infinito).

4) Se ao calcular os limites do item 3) um deles ou os dois tenderem para algum valor, como 4, por exemplo, siginifica que y=4 é uma assíntota horizontal da função e que vc deverá representar no esboço do gráfico por uma reta horizontal traçejada passando por y=4. Quando você calcula o limite com x tendendo para algum valor (x->c, por exemplo) e a função tende para + ou - infinito dizemos que c é assíntota vertical da função. Nesse caso a função não possue assíntotas verticais porque o domínio são todos os reais, não tem nenhuma restrição nele.

5) Função crescente e descrescente está relacionado a primeira derivada da função (f'(x)). Você deve primeiro derivá-la e depois fazer uma análise de sinal para saber os intervalos aonde a função é crescente e aonde é decrescente. Nos intervalos em que é a primeira derivada é negativa a função é descrescente e onde é positiva é crescente.

6) Extremos relativos tem haver com máximos e mínimos locais. Pontos em que f'(x) = 0 são candidatos a máximos e mínimos, juntamente com os extremos (se houverem, nesse caso não porque o domínio são todos os reais). Você deve tentar identificar os x em que f'(x)=0 e depois calcular f(x) para cada um deles. Quem tiver o maior valor de f(x) é máximo e quem tiver menor f(x) é mínimo.

7) Concavidade está relacionada a segunda derivada da função (f"(x)). Você deve derivá-la duas vezes e depois fazer análise de sinal. Aonde a 2ª derivada for positiva a concavidade é para cima (imagina uma parábola de concavidade U, a função x ao quadrado). Aonde for negativa é para baixo(imagina -(x ao quadrado)).

8 - Pontos de inflexão são aqueles em que há mudança de concavidade. Se antes antes de x=3 a função tinha concavidade para cima e depois passou a ser para baixo significa que x=3 é ponto de inflexão da função.

Basta vc reunir todas as informações obtidas a partir dos itens anteriores para esboçar o gráfico. Como você deve ter notado, é indispensável você saber calcular limites, derivadas e fazer análise de sinais para conseguir esboçar esse gráfico direito. Eu te dei uma idéia para você entender o processo, qualquer dúvida de como fazer a análise de sinais e calcular limites e derivadas procure seu professor, um monitor ou mesmo um outro colega que saiba.

[todiboa]

Pessoal algum pode me ajudar com a solução das derivadas abaixo:

A) f(x) =\sqrt(x+X^3)

B) f(x) = 5^sqrt(x² + 3/2x² + 3/x + 5

C) f(x) = (x² + 1)^-10

D) g(x) = 3x² - x -10
x - 2