IME / ITA ⇒ (Simulado IME/ITA 2011) LPM Tópico resolvido

[Agash]

21) Suponha que você tenha escrito em colunas os números inteiros de 1 000 000 até [tex3]9999999[/tex3], inclusive, de modo que os números de cada coluna sejam formados pelos mesmos algarismos. Assim, por exemplo, os números [tex3]5544413[/tex3] e [tex3]4445531[/tex3] pertencem à mesma coluna; [tex3]5544413[/tex3] e [tex3]4135545[/tex3] pertencem a colunas diferentes. Quantas colunas você escreveu?

Resposta

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Gab dado pelo site(LPM) : [tex3]C_{16}^7 - 1[/tex3]

[Tassandro]

Agash,
Seja a = número de vezes que o 0 aparece em cada coluna, b = número de vezes que o algarismo 1 aparece, ...., j = número de vezes que o algarismo 9 aparece.
Devemos ter que
[tex3]a+b+c+...+j=7[/tex3]
Assim, vamos calcular o número de soluções inteiras para essa equação:
[tex3]N=P_9^{7,9}=C_{16}^7[/tex3]
Mas o número de colunas é N-1, pois não pode haver uma coluna com 7 zeros.
Assim, o número procurado é [tex3]\boxed{C_{16}^7-1}[/tex3]