IME / ITA ⇒ Simulado IME/ITA (LPM) 2011 - 30 Tópico resolvido

[Agash]

30)Seja x, y, z e w números reais que satisfaz o sistema:
[tex3]w+x+y+z=5[/tex3]
[tex3]2w+4x+8y+16z=7[/tex3]
[tex3]3w+9x+27y+81z=11[/tex3]
[tex3]4w+16x+64y+256z=1[/tex3]

Calcule o valor absoluto de [tex3]5w+25x+125y+625z[/tex3]


Minha solução ("no braço")

Fatorando:
[tex3]w+x+y+z=5[/tex3]
[tex3]0+2x+6y+14z=7-2.5=-3[/tex3]
[tex3]0+6x+24y+78z=11-3.5=-4[/tex3]
[tex3]0+12x+60y+252z=1-4.5=-19[/tex3]

Nessa passagem:
Contas : 14.6 = 84 , 78-42=36 , 252-84=168
6.6=36 , 60-36=24

[tex3]w+x+y+z=5[/tex3]
[tex3]0+2x+6y+14z=-3[/tex3]
[tex3]0+0+6y+36z=-4-3\cdot (-3)=5[/tex3]
[tex3]0+0+24y+168z=-19-6\cdot (-3)=-1[/tex3]

[tex3]w+x+y+z=5[/tex3]
[tex3]0+2x+6y+14z=-3[/tex3]
[tex3]0+0+6y+36z=5[/tex3]
[tex3]0+0+0+24z=-1-4.5=-21[/tex3]

Contas: 4.36 = 144 , 168- 144 = 24

Por outro lado, seja [tex3]5w+25x+125y+625z=k[/tex3]

Sendo assim :
[tex3]5w+25x+125y+625z=k - 5(w+x+y+z) = k - 5.5 \rightarrow 20x+120y+620z= k-5.5[/tex3]

[tex3]20x+120y+620z - 10(2x+6y+14z) = k - 25- 10\cdot (-3) \rightarrow 60y+480z=k+5[/tex3]

[tex3]60y+480z-10\cdot (6y+36z)=k+5-10.5 \rightarrow 120z= k-45[/tex3]

[tex3]120z- 5\cdot (24z) = k-45-5\cdot (-21) \rightarrow k=-60[/tex3]

Resposta

---

O gab do site (LPM) é - 60, estranho né, valor absoluto deveria ser 60 concordam ?...

POR FAVOR SE ALGUÉM TIVER UMA SOLUÇÃO MELHOR, POSTE!
Fiquei pensando em um jeito rápido de fazer... Deve ter!

[lecko]

Tenta fazer por Matriz que acho que vai ser mais rápido....
vlw/abraço.

[Agash]

Aham... Notei que era vandermonde mas acho que mesmo assim é trabalhoso, contudo, creio que "era" para ser feita por usando det vandermonde...
Obrigado!
Abraço

[lecko]

De nada mano, eu é que agradeço...a cada dia agente aprende uma coisa nova aqui no tutor...pois eu não sei se eu conseguiria ter tido a visão que você teve da questão...
vlw/abraço.

[FilipeCaceres]

Olá Agash,

Vou postar uma outra solução,no entanto não tenho muitos detalhes sobre este método.

Considere um polinômio de quarto grau [tex3]P(a) = za^{4} + ya^{3} + xa^{2} + wa[/tex3]

Assim temos, [tex3]P(1) = 5[/tex3], [tex3]P(2) = 7[/tex3], [tex3]P(3) = 11[/tex3], [tex3]P(4) = 1[/tex3]. Note que [tex3]P(0) = 0[/tex3]. O que se deseja é o valor de [tex3]P(5)[/tex3].

Pelo método de diferença finita, a quarta diferença e constante.Logo,

[tex3]P(0)-4P(1)+6P(2)-4P(3)+P(4) = P(1)-4P(2)+6P(3)-4P(4)+P(5)[/tex3]

[tex3]0 - 4(5) + 6(7) - 4(11) + 1 = 5 - 4(7) + 6(11) - 4(1) + P(5)[/tex3]

[tex3]P(5)=-60[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{|P(5)|=60}[/tex3]

Abraço.

[Agash]

É você viu a bijeção né... = ]
Muito interessante!
Ele pode ter complicado muito mais colocando ,por exemplo, 100 101 102 104..
Aí a minha resolução não daria certo mesmo!

O único problema foi a parte do método de diferença finita... Essa parte eu não entendi...
Vou dar uma pesquisada... Se souber um link bom, agradeço.

Muito obrigado filipecaceres!