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Como eu posso fazer para provar os casos [tex3]ALA[/tex3] e [tex3]LLL[/tex3] de congruência de triângulos ?

Para provar que dois ou mais triângulos são congruentes pelo caso [tex3]LLL[/tex3], os triângulos devem ter os três lados congruentes.
Dados os triângulos [tex3]ABC[/tex3] e [tex3]XPQ[/tex3], se sabemos que, por exemplo:

[tex3]AB\equiv XP[/tex3]
[tex3]BC \equiv PQ[/tex3]
[tex3]AC \equiv XQ[/tex3]

Temos que os triãngulos [tex3]ABC[/tex3] e [tex3]XPQ[/tex3] são congruentes pelo caso [tex3]LLL[/tex3]

Para o caso [tex3]ALA[/tex3], os triângulos devem ter dois ângulos e o lado entre eles congruentes.

Recomendo: http://www.professores.uff.br/dirceuesu ... Baula2.pdf

Tem algumas formas.
Lembre-se que o teorema de Pitágoras é uma consequência de semelhança entre os triângulos retângulos de mesmos ângulos.
Do teorema de Pitágoras sai a lei dos cossenos.
Com a lei dos cossenos essas congruências são evidentes:

O caso [tex3]LLL[/tex3]:
os ângulos são dados pelas relações [tex3]\cos A = \frac{ b^2 + c^2 - a^2}{2bc}[/tex3]
lembre-se que o cosseno é uma função injetora no intervalo [tex3][0, \pi][/tex3].
então a igualdade dos lados implica a igualdade dos ângulos.

O caso [tex3]LAL[/tex3] é a mesma coisa, a lei dos cossenos garante que o terceiro lado será igual e caímos no caso [tex3]LLL[/tex3].

Existem provas sem a lei dos cossenos, mas como ela é resultado da semelhança de triângulos eu não vejo problema em usa-la.
Aqui tem umas provas sem ela (incluindo a de Euclides):
https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/SSS.shtml

A prova de Euclides foi a seguinte:
Ele tomou dois triângulos, [tex3]\triangle ABC[/tex3] e [tex3]\triangle DEF[/tex3], com os três lados iguais [tex3]AB = DE, AC= DF, BC = EF[/tex3].
Ele fixou a base [tex3]DE[/tex3] e transladou [tex3]\triangle ABC[/tex3] até o vértice [tex3]A[/tex3] coincidir com (ficar sobre) o vértice [tex3]D[/tex3] e girou o triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] até o ponto [tex3]B[/tex3] coincidir com o ponto [tex3]E[/tex3] e os lados [tex3]AB[/tex3] e [tex3]DE[/tex3] ficarem sobre a mesma reta e os pontos [tex3]C[/tex3] e [tex3]F[/tex3] ficarem no mesmo semi-plano.

Com isso ele usou um lema que ele já havia demonstrado em seu livro. O lema prova que os pontos [tex3]C[/tex3] e [tex3]F[/tex3] deveriam coincidir. Pois do contrário o triângulo [tex3]\triangle ACF[/tex3] nos mostraria que [tex3]\angle ACF = \angle AFC [/tex3] e que [tex3]\angle ACF > \angle BCF[/tex3] porém [tex3]\triangle BCF[/tex3] nos leva a conclusão de que [tex3]\angle BCF > \angle ACF[/tex3], absurdo. Com isso ele provou que o ângulo em [tex3]C[/tex3] é igual ao ângulo em [tex3]F[/tex3]. Repetindo o procedimento para os outros lados temos que os ângulos são todos iguais.

É uma prova visualmente mais simples, mas eu acho a lei dos cossenos mais fácil de lembrar.

Uma outra prova muito legal é coincidindo um dos lados, mas deixar os vértices faltantes em semi-planos opostos. repare nos triângulos isósceles [tex3]\triangle B'B''C'[/tex3] e [tex3]\triangle B'B''A'[/tex3] e veja como isso implica que [tex3]\angle A'B'C' = \angle A'B''C'[/tex3].