Concursos Públicos ⇒ Seqüência de frações - ex "Conjuntos numéricos-2" Tópico resolvido

[Filipe]

Na sequência das frações [tex3]\frac{1}{1}[/tex3] , [tex3]\frac{2}{1}[/tex3] , [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] , [tex3]\frac{3}{1}[/tex3] , [tex3]\frac{2}{2}[/tex3] , [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] , [tex3]\frac{4}{1}[/tex3] , [tex3]\frac{3}{2}[/tex3] , [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] , [tex3]\frac{1}{4}[/tex3] , [tex3]\frac{5}{1}[/tex3]..... a 2005º fração é:
a)[tex3]\frac{22}{41}[/tex3]
b)[tex3]\frac{13}{52}[/tex3]
c)[tex3]\frac{57}{9}[/tex3]
d)[tex3]\frac{45}{14}[/tex3]
e)[tex3]\frac{12}{52}[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Filipe,

Vemos que os numeradores seguem a seguinte ordem:

1
2 1
3 2 1
4 3 2 1
5 4 3 2 1
...

Note que a soma dos elementos de uma linha indica a ordem (posição) do último elemento desta linha. Por exemplo, na terceira linha temos o 3+2+1=6, portanto o último elemento da terceira linha é o numerador da 6° fração.

Portanto, para descobrir qual a linha que está o 2005° elemento, devemos descobrir qual linha possui a menor soma que é maior do que 2005.
Mas não vamos fazer na munheca não, tem a fórmula da soma dos elementos de uma PA (neste caso uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 1).

[tex3](1+n)\cdot \frac{n}{2}>2005[/tex3]

[tex3]n^2+n-4010>0[/tex3]

Resolvendo esta equação, temos:

[tex3]n>\frac{-1+\sqrt{16041}}{2}[/tex3]

Agora ficamos testando valores inteiros que o quadrado dê maior que 16041.

[tex3]127^2=16129[/tex3]

Podemos então dizer que [tex3]n=\frac{-1+127}{2}=63[/tex3] é o primeiro n maior do que o valor encontrado por báscara. Portanto, 2005 estará na 63° linha da sucessão. Sendo que o último termo da 63° linha será o [tex3](1+63)\cdot\frac{63}{2}=2016^{\circ}[/tex3] termo da sucessão:

63 62 61 60 .... 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Portanto, podemos concluir que o 2005° termo será 12. Este é o nosso numerador.

O denominador segue uma seqüência diferente:

1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4 5
...

O raciocínio é o mesmo. Já sabemos que o 2005° termo estará na 63° linha:

1 2 3 4 ... 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

Se o 2016° termo é o 63, o 2005° termo será o 52. Este é o nosso denominador.

Portanto, a 2005° fração é [tex3]\frac{12}{52}[/tex3], Letra "E".

Atenciosamente
Prof. Caju
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