Olimpíadas ⇒ (EUA - 2001) Somatório Tópico resolvido

[Agash]

Sabendo que :
[tex3]\sum_{k=0}^{1998} \frac{k+3}{(k+1)!+(k+2)!+(k+3)!} + \frac{1}{2001!}[/tex3] vale [tex3]k[/tex3].
Então o valor de [tex3]2008.k[/tex3] é igual a :
a)[tex3]2008[/tex3]
b)[tex3]1004[/tex3]
c)[tex3]502[/tex3]
d)[tex3]2009[/tex3]
e)[tex3]251[/tex3]

Desde já, muito obrigado!

[theblackmamba]

Olá Agash,

Pegaremos inicialmente a a parte abaixo do somatório:

[tex3]\frac{k+3}{(k+1)!+(k+2)!+(k+3)!}=[/tex3]
[tex3]\frac{k+3}{(k+1)! \cdot [1+(k+2)+(k+3)(k+2)]}=[/tex3]
[tex3]\frac{k+3}{(k+1)!\cdot [(k+3)(k+2+1)]}=[/tex3]
[tex3]\frac{\cancel{k+3}}{(k+1)!\cdot (k+3)^{\cancel{2}}}=\frac{k+2}{(k+1)!\cdot (k+3)(k+2)}=\frac{k+2}{(k+3)!}[/tex3]

Agora façamos uma troca de variável:

[tex3]k=\gamma-3[/tex3]

Logo,
[tex3]\frac{k+2}{(k+3)!}=\frac{\gamma-1}{\gamma!}=\frac{\gamma}{\gamma!}-\frac{1}{\gamma!}=\frac{1}{(\gamma-1)!}-\frac{1}{\gamma!}[/tex3]

Para [tex3]k=0[/tex3] temos [tex3]\gamma=3[/tex3] e quando [tex3]k=1998[/tex3] temos [tex3]\gamma=2001[/tex3].

A nossa soma se transforma em:

[tex3]k=\sum_{\gamma=3}^{2001}\,\left(\frac{\gamma-1}{\gamma !}\right)+\frac{1}{2001!}[/tex3]
[tex3]k=\sum_{\gamma=3}^{2001}\,\left(\frac{1}{(\gamma-1)!}-\frac{1}{\gamma!}\right)+\frac{1}{2001!}[/tex3]

Note agora que na parte esquerda temos uma soma telescópica: ficamos com a diferença entre o primeiro e o último termo:

[tex3]k=\,\left(\frac{1}{2!}-\cancel{\frac{1}{2001!}}\right)+\cancel{\frac{1}{2001!}}[/tex3]
[tex3]\boxed{k=\frac{1}{2}}[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{\boxed{2008\cdot k=1004}}[/tex3]. Letra B

Um abraço e um Feliz Ano Novo com muita paz e saúde!