Ensino Superior ⇒ Multiplicadores de Lagrange Tópico resolvido

[Natan]

Encontre o mínimo de [tex3]f(x,\, y,\, z)=x+y+z[/tex3] na superfície [tex3]xyz=k,[/tex3] onde [tex3]x>0,\, y>0[/tex3] e [tex3]z>0.[/tex3] Use o resultado para mostrar que:

[tex3]\sqrt[3]{xyz} \leq \frac{1}{3}(x+y+z),\, x>0,\, y>0,\, z>0.[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Calculando os gradientes para formar nosso sistema com os multiplicadores, temos que

f( x , y , z ) = x + y + z → ∇f = ( 1 , 1 , 1 ).

Agora nossa superfície S :

S : xyz = k → ∇S = ( yz , xz , xy ).

Assim,

1 = yzλ

1 = xzλ

1 = xyλ

xyz = k

Vamos manipular as três primeiras equações para poder deixar o lado direito igual a todas elas

x = xyzλ

y = xyzλ

z = xyzλ

xyz = k

Analisando as três primeiras equações vemos que

x = y = z


Usando x = y = z na equação xyz = k , vem;

x³ = k

x = [tex3]\sqrt[3]{k}[/tex3]


Logo, podemos concluir que

x = y = z = [tex3]\sqrt[3]{k}[/tex3].


Analisando que descobrimos os pontos de mínimo, podemos dizer que nossa função se comporta da seguinte forma

x [tex3]_{0}[/tex3] + y [tex3]_{0}[/tex3] + z [tex3]_{0}[/tex3] ≤ x + y + z

3 [tex3]\sqrt[3]{k}[/tex3] ≤ x + y + z

Podemos usar a relação k em função de xyz para sumir com k.

xyz = k

Com isso nossa desigualdade fica;

3 [tex3]\sqrt[3]{xyz}[/tex3] ≤ x + y + z

[tex3]\sqrt[3]{xyz}[/tex3] ≤ [tex3]\frac{1}{3}[/tex3].( x + y + z ). C.q.m



Excelente estudo!