Olimpíadas ⇒ (EUA) Trigonometria

[Agash]

Resolva o sistema , sabendo que [tex3]x[/tex3],[tex3]y[/tex3],[tex3]z[/tex3] [tex3]\in \left[ 0,\frac{\pi}{2} \right)[/tex3]
[tex3]\begin{cases} tgx+seny+senz=3x \\
senx+tgy+senz=3y \\
senx+seny+tgz=3z\end{cases}[/tex3]

Desde já, muito obrigado!

[Tassandro]

Agash,
A única solução é [tex3](x,y,z)=(0,0,0)[/tex3]
Considere a função [tex3]f(x)=\tg x+2\sen x-3x[/tex3]
Temos que
[tex3]f'(x)=\sec^2x+2\cos x-3[/tex3]
Note que para [tex3]x[/tex3] no 1° quadrante, podemos usar a desigualdade [tex3]\text{M.A.}\geq\text{M.G.}[/tex3], logo,
[tex3]\frac{\sec^2+\cos x+\cos x}3\geq\sqrt[3]{\sec ^2x\cos x\cos x}=1\implies\sec^2x+2\cos x\geq3[/tex3]
Substiuindo isso na derivada de [tex3]f(x)[/tex3], obtemos que
[tex3]f'(x)\geq0[/tex3].
Como [tex3]f(0)=0[/tex3], temos que a função é estritamente crescente, logo, os demais valores assumidos por ela são positivos. Agora, vamos ao sistema da questão. Somando todas as equações, obtemos que
[tex3]\tg x+2\sen x-3x+\tg y+2\sen y-3y+\tg z+2\sen z-3z=0[/tex3]
Pela análise feita, temos que a única solução é, de fato, [tex3](x,y,z)=(0,0,0).[/tex3]