a)
[tex3]2 + 4i[/tex3] é um número complexo fixo, cujas coordenadas são
[tex3](2,4).[/tex3]
A expressão módulo de uma diferença pode ser interpretada geometricamente como distância, ou seja,
[tex3]|z-w|[/tex3] é a distância entre
[tex3]z[/tex3] e
[tex3]w.[/tex3]
No caso,
[tex3]w = 2 + 4i[/tex3] é fixo e já está localizado.
A equação
[tex3]| z - (2 + 4i) | = 2[/tex3] nos diz que a distância entre
[tex3]z[/tex3] e
[tex3]w[/tex3] é igual a
[tex3]2.[/tex3] Ora, qual é o lugar geométrico dos pontos que têm mesma distância em relação a um ponto fixo? Resposta: Circunferência.
No caso temos uma circunferência com centro em
[tex3](2,4)[/tex3] e raio
[tex3]2.[/tex3] Para o esboço, perceba que essa região tangencia o eixo imaginário no ponto
[tex3](0,4).[/tex3]
Obs.:
- 1. Para uma inequação como [tex3]|z-(2+4i)|\leq2 ,[/tex3] a resposta seria o círculo (disco fechado = circunferência + interior), l.g. dos pontos cuja distância a um ponto fixo é menor ou igual a 2. Para [tex3]|z-(2+4i)|<2,[/tex3] teríamos apenas o interior (disco aberto).
2. [tex3]|z+(2+4i)|= |z-(-2-4i)|[/tex3] (para enquadrarmos no que foi mostrado acima)
b) Considere a figura abaixo, onde
[tex3]P(a,b)[/tex3] é o ponto procurado.
- AD88.png (6.33 KiB) Exibido 4671 vezes
A equação da reta
[tex3]OC[/tex3] é dada por
- [tex3]y-y_o=\frac{y_c-y_o}{x_c-x_o}\cdot (x-x_o)\Longrightarrow y=2x[/tex3]
Mas
[tex3]P[/tex3] pertence à reta
[tex3]OC,[/tex3] logo
[tex3]P=(a, 2a).[/tex3]
E como
[tex3]P[/tex3] também pertence à circunferência
[tex3](x-2)^2+(y-4)^2=4,[/tex3] temos:
- [tex3](a-2)^2+(2a-4)^2=4\Longrightarrow 5(a-2)^2=4\Longrightarrow a-2=\pm\frac{2\sqrt{5}}{5}\Longrightarrow a=\frac{2\cdot(5-\sqrt{5})}{5}[/tex3]
Portanto,
- [tex3]P=\left(\frac{10-2\sqrt{5}}{5},\frac{20-4\sqrt{5}}{5}\right)[/tex3]