Física III ⇒ Simetria de Circuitos Tópico resolvido

[luiseduardo]

A figura mostra uma sucessão infinita de triângulos equiláteros cujos lados são condutores homogêneos de seção transversal constante cuja resistência por unidade de comprimento vale λ. Nessa sequência, o lado de cada triângulo é o dobro do lado do triângulo que o sucede. Se o triângulo maior tem lado L, pede-se a resistência equivalente entre A e B.

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Resposta

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Gabarito da questão: [tex3]\frac{L \cdot \lambda(\sqrt{7}-1)}{3}[/tex3]

[theblackmamba]

Temos que a resistência é proporcional ao lado já que a resistência por unidade de comprimento [tex3]\lambda[/tex3] é constante. Analisando a linha equipotencial pontilhada podemos desconectar os três pontos da linha. Repare que a resistência equivalente de CD é [tex3]\frac{R_{eq}}{2}[/tex3], já que o lado do triângulo é a metade, tendo assim uma série infinita de resistores parecida com a primeira só que invertida.

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Em série, CE e DE:
[tex3]R_1=R_{CE,DE}=\frac{R}{2}+\frac{R}{2}=R[/tex3]

Em paralelo:
[tex3]R_2=R_{1//R_{eq}/2}=\frac{R\cdot \frac{R_{eq}}{2}}{R+\frac{R_{eq}}{2}}=\frac{R\cdot R_{eq}}{2R+R_{eq}}[/tex3]

Em série:
[tex3]R_3=R_{2,R/2,R/2}=\frac{R\cdot R_{eq}}{2R+R_{eq}}+\frac{R}{2}+\frac{R}{2}[/tex3]

Em paralelo:
[tex3]R_4=R_{3//R}=\frac{\left(\frac{R\cdot R_{eq}}{2R+R_{eq}}+R\right)\cdot R}{\frac{R\cdot R_{eq}}{2R+R_{eq}}+R+R}=\frac{R^2\cdot R_{eq}+R^2\cdot (2R+R_{eq})}{R\cdot R_{eq}+2R\cdot (2R+R_{eq})}[/tex3]

De modo que:

[tex3]R_{eq}=R_4[/tex3]
[tex3]R_{eq}=\frac{ 2R\cdot R_{eq}+2R^2}{ 3R_{eq}+4R}[/tex3]
[tex3]3R_{eq}^2+2R\cdot R_{eq}-2R^2=0[/tex3]

[tex3]R_{eq}=\frac{-2R+2R\sqrt{7}}{6}[/tex3]. Usando o fato que [tex3]R=L\lambda[/tex3] temos:
[tex3]\boxed{R_{eq}=\frac{L\lambda (\sqrt{7}-1)}{3}}[/tex3].

Abraço.