Olá triplebig e italoemanuel,
Neste link não há uma demonstração para o pedido. Por isso coloco aqui.
Na verdade, podemos demonstrar as duas propriedades pedidas por você em uma só demonstração.
Veja a figura abaixo:
- 2_circulo_1.jpg (14.5 KiB) Exibido 156 vezes
Vamos tratar os pontos B e C como sendo fixos e o ponto A, sem perda de generalidade, como sendo qualquer ponto sobre a circunferência.
Já que temos OB = OC = raio, temos os ângulos OBC e OCB iguais (já denomidados como Z na figura). E como BOC vale y, podemos dizer
[tex3]y+2z=180\rightarrow 2z=180-y[/tex3]
Como OB = OA = raio, também temos os ângulos OBA e BAO iguais a
[tex3]x+k[/tex3].
Como OA = OC = raio, temos que os ângulos OAC e OCA são iguais a
[tex3]k[/tex3].
Agora podemos pensar no triângulo
[tex3]ABC[/tex3], cuja soma dos ângulos internos vale 180 graus:
[tex3]BAC + ACB + CBA = 180[/tex3]
[tex3]x + (z - k) + (z + x+k) = 180[/tex3]
[tex3]2x+2z=180[/tex3]
[tex3]2x+180-y=180[/tex3]
[tex3]x=\frac{y}{2}[/tex3]
Veja que além de provarmos que um ângulo é a metade de outro, provamos também que, se
[tex3]y[/tex3] for um valor constante,
[tex3]x[/tex3] também será (lembrando que A pode ser um ponto qualquer da circunferência). Como queríamos demonstrar.
