IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1988) Racionalização Tópico resolvido

[Flavio2008]

O valor da expressão [tex3]\frac{1}{1+\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+2}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{99}+10}[/tex3] é:

a) [tex3]{-}10[/tex3]
b) [tex3]{-}9[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{9}[/tex3]
d) [tex3]9[/tex3]
e) [tex3]10[/tex3]

[italoemanuell]

Observe que cada fração pode ser racionalizada, basta usar o seu conjugado. Então,

• [tex3]\frac{1\cdot (\sqrt {2}-\sqrt{1})}{(\sqrt {2}+\sqrt{1})\cdot (\sqrt {2}-\sqrt{1})}+\frac{1\cdot (\sqrt {3}-\sqrt{2})}{(\sqrt {3}+\sqrt{2})\cdot (\sqrt {3}-\sqrt{2})}+\frac{1\cdot (\sqrt {4}-\sqrt{3})}{(\sqrt {4}+\sqrt{3})\cdot (\sqrt {4}-\sqrt{3})}+\cdots +\frac{1\cdot (\sqrt {100}-\sqrt{99})}{(\sqrt {100}+\sqrt{99})\cdot (\sqrt {100}-\sqrt{99})}=[/tex3]
  
  [tex3]\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{1})^2}+\frac{\sqrt {3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt {2})^2)}+\frac{\sqrt {4}-\sqrt{3}}{(\sqrt {4})^2-(\sqrt {3})^2}+\cdots+\frac{\sqrt{100} - \sqrt{99}}{(\sqrt{100})^2-(\sqrt{99})^2}.[/tex3]

Agora, observando que no denominador todas as diferenças são iguais a [tex3]1,[/tex3] e simplificando os radicais simétricos, a expressão fica [tex3]{-}1+\sqrt{100}=9.[/tex3]

Resposta: (d).