IME / ITA ⇒ (EPCAR - 2011) Função Tópico resolvido

[trexz]

Olá pessoal.

Estava resolvendo uma prova antiga da EPCAr e uma questão me suscitou uma dúvida.

A questão é a seguinte:

No tempo t = 0, o tanque de um automóvel está com α litros de combustível. O volume de combustível no tanque, em litros, após o carro entrar em movimento, é descrito por uma função do 2o grau em função do tempo t, em minutos.
O carro entra em movimento. Após 10 minutos do início do movimento, o tanque está com 36 litros de combustível e após 3 horas e 10 minutos do início do movimento, o volume de combustível no tanque se esgota.
Sabe-se que o gráfico dessa função toca o eixo Ox num único ponto de coordenadas (190, 0) Dessa forma, o número α está compreendido entre

a) 40 e 42
b) 42 e 44
c) 44 e 46
d) 46 e 48

Resposta

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Resposta: A

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A minha dúvida foi como achar a equação que define a função do tempo em função do volume de gasolina.

[theblackmamba]

A função será da forma:
[tex3]f(t) = a(x - Xv)^2[/tex3], no qual x representa todos os pontos da abscissa e Xv o ponto que toca o eixo x quando f(t) = 0.

Temos que: Xv = 190; [tex3]\alpha[/tex3]= f(0) (ponto máximo do eixo das ordenadas).

[tex3]f(t) = a(t - 190)^2[/tex3]

Após 10 minutos do início do movimento, o tanque está com 36 litros de combustível:
[tex3]f(10) = 36[/tex3]
[tex3]a\cdot (-180)^2 = 36[/tex3]
[tex3]a = \(-\frac{6}{180}\)^2 \rightarrow a = \(\frac{1}{30}\)^2 = \boxed{\frac{1}{900}}[/tex3]

[tex3]f(0) = \alpha[/tex3]
[tex3]\frac{1}{900}\cdot (0 - 190)^2 = \alpha[/tex3]
[tex3]\(\frac{190}{30}\)^2 = \alpha[/tex3]
[tex3]\frac{19^2}{3^2} = \alpha \rightarrow \alpha = \frac{361}{9} = \boxed{40,7}[/tex3] [tex3]\text{Resposta}[/tex3] A

[trexz]

Obrigado!

Pelo que eu entendi, a função possui essa forma pois a parábola só toca o eixo das abcissas em um único ponto , logo o discriminante será igual à 0. E como um trinômio do segundo grau pode ser fatorado na forma ''a.(x - x1).(x - x2)'' e as raízes são iguais, conclui-se que a função possui a forma V(t) = a.(t - 190)^2 , pois ''190'' é a primeira derivada da função, ou seja, a raiz quando o discriminante for zero.

[theblackmamba]

Já sabe bem mais que eu. rsrs

Só para não passar em branco:
A função do 2º grau: [tex3]f(x) = ax^2 + bx + c[/tex3] pode ser escrita tbm na forma: [tex3]f(x) = a(x - X_v)^2 + Y_v[/tex3].
No caso desta questão, a concavidade da parábola é para baixo pois o volume de combustível decai com o tempo e o gráfico toca o eixo das abcissas uma única vez. Logo o vértice mínimo ([tex3]Y_v[/tex3]) será igual a zero, dai a função ser definida [tex3]f(x) = a(x - X_v)^2[/tex3]

Abraço!

[vignaite10]

Theblackmamba, Teria como demonstrar essa função fatorada da equação do segundo grau ? Obrigado!!

[cajuADMIN]

Olá vignaite10,

Podemos demonstrar substituindo os valores das coordenadas do vértice da parábola por suas fórmulas: [tex3]X_v=-\frac{b}{2a}[/tex3] e [tex3]Y_v=\frac{-(b^2-4ac)}{4a}[/tex3]:

[tex3]f(x) = a(x - X_v)^2 + Y_v[/tex3]

[tex3]f(x) = a\[x - \(-\frac{b}{2a}\)\]^2 + \frac{-(b^2-4ac)}{4a}[/tex3]

[tex3]f(x) = a\(x + \frac{b}{2a}\)^2 - \frac{(b^2-4ac)}{4a}[/tex3]

[tex3]f(x) = a\(x^2+2x\frac{b}{2a} + \frac{b^2}{4a^2}\) - \frac{(b^2-4ac)}{4a}[/tex3]

[tex3]f(x) = ax^2+bx + \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{4a}+\frac{4ac}{4a}[/tex3]

[tex3]f(x) = ax^2+bx + \cancel{\frac{b^2}{4a}} - \cancel{\frac{b^2}{4a}}+\frac{\cancel{4a}c}{\cancel{4a}}[/tex3]

[tex3]\boxed{f(x) = ax^2+bx + c}[/tex3]

Como queríamos demonstrar.

Grande abraço,
Prof. Caju

[Lucabral]

caju, Da expressão [tex3]f(x) = a(x - X_v)^2 + Y_v[/tex3] só compreendi o Yv,mas o resto da construção não. De onde vem o resto?

[cajuADMIN]

Olá Lucabral,

A demonstração que fiz, é apenas para demonstrar que a expressão [tex3]f(x) = a(x - X_v)^2 + Y_v[/tex3] é igual à expressão [tex3]f(x)=ax^2+bx+c[/tex3].

Uma explicação mais "entendível" é pensar em translação da parábola no plano cartesiano.

Começamos pensando na parábola [tex3]f(x)=ax^2[/tex3], que é a parábola com a concavidade e formato que queremos. Mas, ela está com o vértice na origem.

Agora, fazemos uma translação horizontal de [tex3]X_v[/tex3] unidades no eixo [tex3]x[/tex3]. A translação horizontal é feita somando (translação para esquerda) ou diminuindo (translação para direita) ao [tex3]x[/tex3] a quantidade de unidades queremos transladar horizontalmente. Como queremos [tex3]X_v[/tex3] unidades para a direita (ou esquerda, dependendo do sinal do [tex3]X_v[/tex3]), devemos diminuir [tex3]X_v[/tex3] do nosso [tex3]x[/tex3]. Ficamos com:

[tex3]f(x) = a(x - X_v)^2[/tex3]

Agora devemos efetuar uma translação vertical na parábola, jogando [tex3]Y_v[/tex3] unidades para cima. A translação vertical é feita somando (translação para baixo) ou diminuindo (translação para cima) ao [tex3]y[/tex3] a quantidade de unidades que queremos transladar verticalmente. Como queremos [tex3]Y_v[/tex3] unidades para cima (ou para esquerda, dependendo do sinal de [tex3]Y_v[/tex3]), devemos diminuir [tex3]Y_v[/tex3] unidades do nosso y. Ou seja, ficamos com:

[tex3]f(x) -Y_v= a(x - X_v)^2\,\,\,\rightarrow\,\,\,f(x)=a(x-X_V)^2+Y_v[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

[Lucabral]

caju, Obrigada prof

[vignaite10]

Mestre caju, muito obrigado!!!