Olimpíadas ⇒ Baltic Way (2000) - Geometria Plana Tópico resolvido

[theblackmamba]

Seja ABC um triângulo tal que:
[tex3]\frac{BC}{AB - BC} = \frac{AB + BC}{AC}[/tex3]

Determine a razão: [tex3]\frac{\angle A}{\angle C}[/tex3]

[diogopfp]

Sejam [tex3]BC= a[/tex3], [tex3]AC=b[/tex3] e [tex3]AB=c[/tex3]. Então
[tex3]\frac{a}{c-a}=\frac{c+a}{b}[/tex3]
[tex3]ab=c^2-a^2[/tex3]
[tex3]c^2=a^2+ab[/tex3]
[tex3]c^2=a(a+b)[/tex3]
[tex3]\frac{c}{a+b}=\frac{a}{c}[/tex3]

Agora considere um ponto [tex3]D[/tex3] em [tex3]AB[/tex3], tal que [tex3]BD=\frac{ac}{a+b}[/tex3]
como na figura abaixo

BalticWay.jpg (8.47 KiB) Exibido 957 vezes

Assim segue
[tex3]\frac{BD}{BC}=\frac{\frac{ac}{a+b}}{a}=\frac{c}{a+b} = \frac{a}{c}=\frac{BC}{BA}[/tex3]
ou seja, os triângulos [tex3]BCD[/tex3] e [tex3]BAC[/tex3] são semelhantes, portanto [tex3]B\hat{A}C=B\hat{C}D[/tex3].

Além disso,
[tex3]\frac{AD}{AC}=\frac{AB-BD}{AC}[/tex3]
[tex3]=\frac{c-\frac{ac}{a+b}}{b}[/tex3]
[tex3]=\frac{c\cdot\frac{a+b-a}{a+b}}{b}[/tex3]
[tex3]=\frac{c}{a+b}[/tex3]
[tex3]=\frac{\frac{ca}{a+b}}{a}[/tex3]
[tex3]=\frac{BD}{BC}[/tex3]
implica pelo teorema da bissetriz que [tex3]CD[/tex3] é bissetriz de [tex3]B\hat{C}A[/tex3], ou seja, [tex3]B\hat{C}D=\frac{B\hat{C}A}{2}[/tex3].

Então como [tex3]B\hat{A}C=B\hat{C}D[/tex3]
[tex3]B\hat{A}C=\frac{B\hat{C}A}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{B\hat{A}C}{B\hat{C}A}=\frac{1}{2}[/tex3]

Resposta
[tex3]\boxed{\boxed{\frac{\hat{A}}{\hat{C}}=\frac{1}{2}}}[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá theblackmamba,

Baltic way 2000.png (5.46 KiB) Exibido 957 vezes

Assim temos que,
[tex3]\frac{BC}{AB - BC} = \frac{AB + BC}{AC}[/tex3]
[tex3]\frac{a}{c-a}=\frac{c+a}{b}[/tex3]
[tex3]ab=c^2-a^2[/tex3] (1)

Pela lei dos cossenos,
[tex3]a^2=b^2+c^2-2c.b.cosA[/tex3]
[tex3]c^2=a^2+b^2-2a.b.cosC[/tex3]

Subtraindo,
[tex3]c^2-a^2=b(c.cosA-a.cosC)[/tex3] (2)

De (1) em (2)
[tex3]ab=b(c.cosA-a.cosC)[/tex3]
[tex3]a=c.cosA-a.cosC[/tex3] (3)

Também sabemos que,
[tex3]A=\frac{ab}{2}senC[/tex3] (4)
[tex3]A'=\frac{cb}{c}cosA[/tex3] (5)

Como a área é a mesma podemos igualar (4) e (5)
[tex3]\frac{ab}{2}senC=\frac{cb}{c}cosA[/tex3]
[tex3]a=\frac{c.senA}{senC}[/tex3] (6)

De (6) em (3)
[tex3]\frac{c.senA}{senC}=c.cosA-\frac{c.senA}{senC}.cosC[/tex3]

Assim temos,
[tex3]senA=senC.cosA-senC.cosA=sen(C-A)[/tex3]

Desta forma devemos ter,
[tex3]C=2A[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{\frac{\angle{A}}{\angle{C}}=\frac{1}{2}}[/tex3]

Observação:
Observe que da última equação também podemos ter [tex3]C=\pi[/tex3], mas desta forma não teríamos um triângulo.

Abraço.