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Mostre que o segmento que une o ortocentro e o baricentro de um triângulo acutângulo [tex3]ABC[/tex3] é paralelo ao lado [tex3]AB[/tex3] se, e somente se, [tex3]tg \angle A\,\cdot\,tg \angle B = 3[/tex3].

theblackmamba,
Sejam E e F as projeções do circuncentro (C) e do ortocentro (O) em [tex3]\overline{AB},[/tex3] respectivamente. Note que [tex3]CE=R\cos\hat C[/tex3] e [tex3]OF=2R\cos\hat A\cos\hat B,[/tex3] sendo R o circunraio. Mas como [tex3]\overline{CO}\parallel\overline{AB}\to CE=OF,[/tex3] daí,
[tex3]R\cos\hat C=2R\cos\hat A\cos\hat B\to\\
-\cos(\hat A+\hat B)=2\cos\hat A\cos\hat B\to\\
\tg\hat A\tg\hat B=3\tag*{}[/tex3]