Ensino Médio ⇒ Classifique e resolva , os seguintes sistemas homogêneos. Tópico resolvido

[andersontricordiano]

Classifique e resolva , os seguintes sistemas homogêneos.

a)
[tex3]\{
1x+2y-3z = 0 \\
3x+1y-4z = 0 \\
2x-1y-1z = 0[/tex3]

b)
[tex3]\{
1x-1y+2z=0 \\
6x-5y+5z =0 \\
-4x-3y+1z=0[/tex3]

Resposta

---

Respostas:

a)SPI ; S={[tex3]{(\alpha,\alpha,\alpha)}[/tex3]}
b)SPD ; S={(0,0,0)}

Agradeço quem resolver!

[theblackmamba]

a)
Organizando em ordem crescente dos coeficientes de x:

[tex3]\begin{cases}x + 2y - 3z = 0 \\ 2x - y - z = 0 \\ 3x + y - 4z = 0\end{cases}[/tex3]

Vamos usar o sistema de escalonamento nas duas primeiras equações:

[tex3]\begin{cases}x + 2y - 3z = 0 \,\,\times (-2) \\ 2x - y - z = 0\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}-2x - 4y + 6z = 0 \\ 2x - y - z = 0\end{cases}[/tex3]

[tex3]-5y + 5z = 0 \rightarrow\boxed{ y = z = \alpha}[/tex3]

Agora usando a primeira e a terceira equação (vamos multiplicar a primeira por (-3) para eliminar o valor de x):
[tex3]\begin{cases}-3x - 6y + 9z = 0 \\ 3x + y - 4z = 0\end{cases}[/tex3]

Portanto,
[tex3]S:\{\alpha, \alpha, \alpha\}[/tex3]

Vou deixar o outro para você resolver.. Se tiver dúvidas é só perguntar..Abraço.

[tex3]-5y + 5z = 0[/tex3]
Note que que encontramos a mesma relação entre y e z o que torna o sistema possível e indeterminado, cuja caracteristica é ter infinitas soluções.
Vamos substituir [tex3]\alpha[/tex3] na primeira equação para achar os valor de x em função de [tex3]\alpha[/tex3]

[tex3]x = -2 \alpha + 3 \alpha \rightarrow \boxed{x = \alpha}[/tex3]
Ou seja, temos soluções infinitas para quaisquer valores iguais dados as variáveis x, y e z.