Ensino Superior ⇒ Continuidade de Funções Trigonométricas

[lecko]

Peço-lhes ajuda na seguinte questão, retirada do livro "Um Curso de Cálculo Volume I" Luiz Hamilton Guidorizzi 5º edição, página 93 e item 3.7.

Prove que : [tex3]|senx-senp| \leq |x-p|[/tex3]
[tex3]|cosx-cosp| \leq |x-p|[/tex3]

Obrigado a todos os que ajudarem ^^

[Natan]

Olá tudo bem? Vamos inicialmente exibir o significado preciso do que significa uma função ser contínua em um ponto...

Diremos que [tex3]f:\, X\, \rightarrow\, \Re[/tex3] é contínua em [tex3]p\, \in\, X[/tex3] quando dado [tex3]\epsilon>0[/tex3] for possível obter [tex3]\delta>0[/tex3] tal que [tex3]p\, \in\, X,\, |x-a|<\delta\, \Rightarrow\, |f(x)-f(p)|<\epsilon[/tex3]

O que se quer nesse exercício é ver que a função seno é contínua em todos os pontos do domínio. Para tanto lançaremos mão de 2 resultados:

O primeiro é a desigualdade [tex3]cos(x)<x[/tex3] o qual pode ser facilmente provado e portanto omitirei sua demonstração.

O segundo já mais conhecido desde o ensino médio, é uma das formulas de transformação de soma em produto de funções trigonométricas, a saber [tex3]sen(x)-sen(y)=2sen\left( \frac{x+y}{2}\right)cos \left( \frac{x-y}{2}\right)[/tex3]

Inicialmente faremos um breve esboço da demonstração, a qual estará concluído quando determinarmos o tal [tex3]\delta[/tex3][tex3]\delta[/tex3] o qual afirmamos a existência. Vamos então raciocinar de trás para frente:

[tex3]|f(x)-f(p)|<\epsilon \\ |sen(x)-sen(p)|=\left| 2sen\left( \frac{x+p}{2}\right)cos \left( \frac{x-p}{2}\right) \right| \leq 2.1.\frac{|x-p|}{2}.=|x-p|<\epsilon[/tex3]

assim fica claro que basta tomar [tex3]\delta=\epsilon[/tex3]

Agora sim vamos a demonstração de fato:

exercício: Mostre que a função [tex3]f:\, \Re\, \rightarrow\, \Re[/tex3] definida por [tex3]f(x)=sen(x)[/tex3] é contínua em todo o seu domínio.

Demonstração:

Seja [tex3]p\, \in\, \Re.[/tex3] Afirmamos que basta tomar [tex3]\delta=\epsilon[/tex3]. Com efeito, com essa escolha teremos:

[tex3]p\, \in\, \Re,\, |x-p|<\delta=\epsilon \\ \epsilon>2.\frac{|x-p|}{2}.1 \geq \left| 2cos \left( \frac{x-p}{2}\right)sen\left( \frac{x+p}{2}\right) \right|=\underbrace{|sen(x)-sen(p)|}_{|f(x)-f(p)|}[/tex3]

o que prova a continuidade em [tex3]x=p,[/tex3] que como foi tomado qualquer, nos leva a continuidade de [tex3]f[/tex3] em todo [tex3]\Re[/tex3].