IME / ITA ⇒ (ITA - 1978) - Geometria Analítica Tópico resolvido

[theblackmamba]

Seja o triângulo de vértices A:(1,2); B:(2,4) e C:(4,1), no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. A distância do ponto de encontro das alturas desse triângulo ao lado AC é:

Resposta

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[tex3]\frac{9\sqrt{10}}{70}[/tex3]

[victoria]

Olá theblackmamba,

resolvi dessa forma:

1) Descobrindo a reta suporte da altura de C em relação a A e B:

[tex3]m_{AB}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=2[/tex3]

Assim, o coeficiente angular da reta procurada é [tex3]m= - \frac{1}{2}[/tex3]
como a reta passa por C:

[tex3]y=\frac{-1}{2}x+k[/tex3]
[tex3]1=-2+k[/tex3]

Portanto: [tex3]y=\frac{-1x}{2}+3[/tex3]

2) Descobrindo a reta suporte da altura de B em relação a A e C:

[tex3]m_{AC}=\frac{-1}{3}[/tex3]

Assim, o coeficiente angular da reta procurada é [tex3]m=3[/tex3]
como a reta passa por B:

[tex3]y=3x+z[/tex3]
[tex3]4=6+z[/tex3]

Portanto:[tex3]y=3x-2[/tex3]

3) Descobrindo o ortocentro do triângulo ABC:

[tex3]3x-2=\frac{-1x}{2}+3[/tex3]
[tex3]x=\frac{10}{7}[/tex3] e [tex3]y=\frac{16}{7}[/tex3]


4) equacão da reta suporte do lado AC:

[tex3]y=\frac{-1x}{3}+\frac{7}{3}[/tex3]

Da distância de ponto à reta:

[tex3]d=\frac{\mid \frac{-1}{3}\cdot \frac{10}{7}-\frac{16}{7} +\frac{7}{3} \mid}{\sqrt{\frac{1}{9}+1}} = \frac{9\cdot \sqrt{10}}{70}[/tex3]

Abraço.