Olimpíadas ⇒ (OBM - 2002) Conjuntos Numéricos Tópico resolvido

[rean]

O produto de um milhão de números naturais, não necessariamente distintos, é igual a um milhão. Qual é o maior valor possível para a soma desses números?

a) [tex3]1.000.000[/tex3]
b) [tex3]1.250.002[/tex3]
c) [tex3]1.501.999[/tex3]
d) [tex3]1.999.999[/tex3]
e) [tex3]13.999.432[/tex3]

[Diego996]

Olá Rean,

Vou resolver usando uma noção básica, mas que pelo menos pode ajudar alguém a provar.

Decompondo o [tex3]1000000[/tex3] veremos que não teremos, em hipótese alguma, mais de um milhão de números naturais.

Dessa forma, concluímos que a maioria dos números naturais são uns (1's). Além disso, podemos escrever

• [tex3]1000000 = 500000 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1\ldots[/tex3]

Observe, entretanto, que quanto mais nós decompomos o [tex3]1000000,[/tex3] menor a soma dos números que o geraram. Logo, o maior valor possível ocorrerá para o [tex3]1000000[/tex3] não decomposto, isto é:

• [tex3]1000000 = 1000000 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1\cdots 1,[/tex3]

num total de [tex3]999999[/tex3] números um. Então a soma máxima é [tex3]1999999.[/tex3]

Falow.