Olimpíadas ⇒ (OIM - 2004) Teoria dos Números Tópico resolvido

[rean]

Determine todos os pares [tex3](a,b),[/tex3] onde [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são números inteiros positivos de dois dígitos cada um, tais que [tex3]100a+b[/tex3] e [tex3]201a+b[/tex3] são quadrados perfeitos de quatro dígitos.

Resposta:

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[tex3](17, 64)[/tex3]

[theblackmamba]

Devemos ter [tex3]100a + b = m^2[/tex3] e [tex3]201a + b = n^2[/tex3], onde [tex3]m[/tex3] e [tex3]n[/tex3] são inteiros tais que [tex3]0<m<n<100[/tex3]. Daí segue que [tex3]n^2-m^2=101a[/tex3].
Como [tex3]n^2-m^2 = (n+m)(n-m)[/tex3] é múltiplo de 101, [tex3]0<n-m<100[/tex3] e [tex3]n+m<200[/tex3], devemos ter [tex3]n+m=101[/tex3], pois 101 é primo, e 101 não divide [tex3]n-m[/tex3]. Daí segue que [tex3]n-m=\frac{101a}{n+m} = a[/tex3], logo [tex3](101 -m) - m = a[/tex3], donde [tex3]m=\frac{101-a}{2}[/tex3]. De [tex3]100a + b = m^2[/tex3], segue que [tex3]\(\frac{101-a}{2}\)^2 = 100a + b[/tex3]. e logo [tex3]a^2 -602a+10201=4b[/tex3]. Temos [tex3]0\leq4 b\leq100[/tex3]. Como [tex3]a=\frac{602}{2}=301[/tex3], [tex3]f(a)[/tex3] é decrescente para [tex3]0\leq a \leq 100[/tex3]. Como [tex3]f(16)=825>400[/tex3], [tex3]f(17)=256[/tex3] e [tex3]f(18)=-311<0[/tex3], devemos ter [tex3]a=17[/tex3], donde [tex3]m=\frac{101-17}{2}=42[/tex3], [tex3]n=101-m=59[/tex3] e [tex3]b=\frac{256}{4}=64[/tex3]. Com efeito, [tex3]m^2=1764 = 100\cdot 17 + 64[/tex3], e [tex3]n^2=3481=201\cdot 17 + 64[/tex3].
Assim, o único par [tex3](a,b)[/tex3] que satisfaz as condições do enunciado é [tex3]\boxed{(a,b)=(17,64)}[/tex3]

FONTE: Revista Eureka! nº 26