Olimpíadas ⇒ Soma de frações

[Cássio]

Encontre todas as soluções inteiras de

[tex3]\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}[/tex3]

[Ivo213]

Encontre todas as soluções inteiras de

[tex3]\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}[/tex3]

Boa tarde, Cássio.

1/x + 1/y = 1/z → mmc(x,y,z) = xyz

yz/xyz + xz/xyz = xy/xyz → multiplicamos tudo pelo mmc, eliminando assim os denominadores:

yz + xz = xy

z(x + y) = xy

xy/(x+y) = z

Notando que 3*6 é múltiplo de 3+6 → quociente 2, vem:
1/3 + 1/6 =2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2
x = 3 ; y = 6 ; z = 1

Observei, nesse exemplo, que "y" é múltiplo de "x".
Façamos, então:
x = x
y = kx

1/x + 1/kx = k/kx + 1/kx = (k+1)/kx

Em (k+1)/kx, é evidente que "k" não é divisor de "k+1"; logo, "x" deverá sê-lo, pois o quociente dessa divisão, representando "z", deverá ser inteiro.

Se fizermos, então, x=k+1, a fração (k+1)/kx se tornará igual a 1/k, a qual poderá (perfeitamente) representar 1/z.

Ficaria, portanto, assim (fazendo-se x=k+1):
1/x + 1/y = 1/z ↔ 1/(k+1) + 1/[k(k+1)] = 1/k ↔ 1/(k+1) + 1/(k²+k) = 1/k ↔ x = k+1 | k>1 ; k∈ℕ

Algumas soluções:
k=2 → 1/3 + 1/6 = 1/2
k=3 → 1/4 + 1/12 = 1/3
k=4 → 1/5 + 1/20 = 1/4
k=5 → 1/6 + 1/30 = 1/5
etc






Um abraço.

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]z = \frac{yx}{x+y}[/tex3]

queremos todos [tex3](x,y)[/tex3] sendo cada um distinto de zero tais que [tex3]x+y | xy[/tex3]

Seja [tex3]d= mdc(x,y)[/tex3] então [tex3]z = \frac{d^2x'y'}{dx'+dy'}= d*\frac{x'y'}{x'+y'}[/tex3]

se supormos que [tex3]\frac{x'y'}{x'+y'} \in \mathbb{Z}[/tex3] então temos que [tex3](x',y',z')[/tex3] é solução da equação com [tex3]mdc(x',y')=1[/tex3]

temos [tex3]mdc(x',y') = mdc(x',x'+y')=1[/tex3]

existem inteiros [tex3]r,s[/tex3] tais que
[tex3]rx'+sy'=1[/tex3]
[tex3](r*x')x' + (s)*(x'y') = x'[/tex3]
[tex3](r*x')x' + (s*z')*(x'+y') = x'[/tex3]
logo [tex3](r*x')x' - x' + x'*s*z' = -s*z'*y' = z'(rx' - 1)[/tex3]
de onde [tex3]x'[/tex3] divide [tex3]z' = \frac{x'y'}{x'+y'}[/tex3] e então [tex3]\frac{y'}{x'+y'} \in \mathbb{Z}[/tex3]
obviamente verdade se [tex3]x'+y' = \pm 1[/tex3]
mas como [tex3]mdc(y',x'+y') = 1[/tex3] a única solução do sistema é [tex3]x'+y' = \pm 1[/tex3]

então excetuando os casos [tex3]x'+y' = \pm 1[/tex3] podemos considerar [tex3]d>1[/tex3]
e [tex3]\frac{x'y'}{x'+y'} \in \mathbb{Q}- \mathbb{Z}[/tex3]
temos então que [tex3]dx'y' = z(x'+y')[/tex3]

[tex3]x',y'[/tex3] são raízes de
[tex3]t^2 - (x'+y')t + x'y'[/tex3]
[tex3]dt^2 - d(x'+y')t + z(x'+y') = 0[/tex3]
[tex3]dt^2 + (x'+y')(z-dt) = 0[/tex3]
[tex3]dt^2 + x'(z-dt) = y'(dt-z)[/tex3]
de onde [tex3]x'|zy'[/tex3] e [tex3]y'|zx'[/tex3] como [tex3](x',y')=1[/tex3] então [tex3]x',y'|z[/tex3]
[tex3]z = k*x'*y'[/tex3] onde [tex3]d = k (x'+y')[/tex3] logo [tex3]x'+y'|d|x,y[/tex3]
[tex3]x'|x[/tex3] e [tex3]x'+y'|x[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

Como [tex3]x = dx' = k*x'(x'+y')[/tex3]
e [tex3]y = dy' = k*y'(x'+y')[/tex3]
então dados dois números quaisquer [tex3]x',y'[/tex3] primos entre si os números

[tex3]kx'(x'+y'),ky'(x'+y'), kx'y'[/tex3]

são uma solução pra equação dado [tex3]k[/tex3] diferente de zero, [tex3]x'\neq y'[/tex3]

bem como qualquer par [tex3](x',\pm 1-x')[/tex3] com [tex3]x'\neq \pm 1[/tex3]