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Uma folha quadrada é dobrada conforme a figura abaixo,
mostre que o comprimento AB da folha é igual ao raio
do círculo que tangencia tanto os lados do quadrado
quanto a parte da folha que está dobrada.

Olá andreluiz,

Veja, primeiro, a animação usando o geogebra que fiz desta questão:

http://www.tutorbrasil.com.br/geogebra/ ... brada.html

Vamos à questão, não vou me alongar muito nas explicações, pois sendo esta questão de altíssimo nível, para tentar fazê-la deve-se já ter uma boa base de demonstrações. Se houver alguma dúvida em minha explicação, por favor, perguntem neste tópico:
O quadrado tem lado [tex3]L[/tex3], o círculo tem raio [tex3]R[/tex3].

Os triângulos FBE e ECI são semelhantes:

[tex3]\frac{d}{a}=\frac{L-a}{b}=\frac{L-d}{c}[/tex3]

Somando os três denominadores e os três numeradores entre si (propriedade de proporções), temos:

[tex3]\frac{2L-a}{a+b+c}=\frac{L-a}{b}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{L=\frac{(a+c)a}{a-b+c}}[/tex3]

Sendo [tex3]\widehat{EIC}=\widehat{GIH}[/tex3], pois são opostos pelo vértice. Temos, então, que os triângulos [tex3]GHI[/tex3] e [tex3]ECI[/tex3] são semelhantes:

[tex3]\frac{k}{c}=\frac{L-b-k}{a}=\frac{x}{b}[/tex3]

Novamente, somando de acordo com a propriedade de proporções:

[tex3]\frac{L-b+x}{a+b+c}=\frac{x}{b}[/tex3]

Substituindo o valor de [tex3]L[/tex3] encontrado anteriormente e isolando [tex3]x[/tex3], temos:

[tex3]x=\frac{a^2+bc-c^2}{a-b+c}\text{ (I)}[/tex3]

Por pitágoras, temos que [tex3]a^2+b^2=c^2\,\,\rightarrow \,\,-b^2=a^2-c^2\text{ (II)}[/tex3]

(II) em (I):

[tex3]\boxed{x=\frac{bc-b^2}{a-b+c}}\text{ (III)}[/tex3]

Agora vamos pegar um atalho. Sabemos que o raio do círculo inscrito em um triângulo retângulo de catetos [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] e hipotenusa [tex3]c[/tex3] é dado pela fórmula:

[tex3]R=\frac{a+b-c}{2}\text{ (IV)}[/tex3]

Vamos então igualar [tex3](III)[/tex3] e [tex3](IV)[/tex3] e verificar se são iguais:

[tex3]\frac{bc-b^2}{a-b+c}\,\,\,=^{?}\,\,\,\frac{a+b-c}{2}[/tex3]

[tex3]2bc-2b^2 \,\,\,=^{?}\,\,\,a^2-ab+ac+ab-b^2+bc-ac+bc-c^2[/tex3]

Substituindo [tex3]a^2-c^2=-b^2[/tex3], conseguimos cortar todo mundo e chegar em [tex3]0=0[/tex3]. Ou seja, realmente, [tex3]\boxed{x=R}[/tex3], como queríamos demonstrar.

Grande abraço,
Prof. Caju

Olá, um final alternativo (mas mais trabalhoso) seria usar no lugar de (IV), uma outra fórmula para o raio do círculo inscrito em um triângulo retângulo:

[tex3]R=\frac{ab}{a+b+c}[/tex3]

Mas, podem tentar, vai dar mais continhas (umas 3 ou 4 linhas a mais).

Grande abraço,
Prof. Caju