Ensino Médio ⇒ Progressão Geométrica - Soma Infinita Tópico resolvido

[heibersilvia]

Divide-se um segmento de comprimento m em 3 partes iguais e retira-se a parte central; para cada um dos 2 segmentos que "sobram" repete-se o processo, retirando-se suas partes centrais e assim sucessivamente. Calcular a soma dos comprimentos retirados.

[diogopfp]

Descrevendo o termo geral:

[tex3]a_1=\frac{1}{3}\cdot m[/tex3]
[tex3]a_2=2\left(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot m\right)=\frac{2}{9}\cdot m[/tex3]
[tex3]a_3=4\left(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot m\right)=\frac{4}{27}\cdot m[/tex3]
.
.
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[tex3]a_n=\frac{2^{n-1}}{3^n}\cdot m=\frac{m}{3}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}[/tex3]

Assim a soma infinita será

[tex3]S_\infty=\frac{a_1}{1-q}[/tex3]
[tex3]S_\infty=\frac{\frac{m}{3}}{1-\frac{2}{3}}[/tex3]
[tex3]\boxed{S_\infty=m}[/tex3]