Ensino Médio ⇒ Equações e Suas Características

[Deko]

(MP-RJ) Como identificar nos gráficos os seguintes itens:

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a) domínio
b) Imagem
c) raízes se existirem;
d) intervalos de crescimento e decrescimento;
e) variação do sinal.

[retlaw]

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Chamaremos a função do gráfico 1 de [tex3]f(x)[/tex3]
então:
para [tex3]f(x)[/tex3], temos:


[tex3]D(f)=\mathbb{R}[/tex3], [tex3]Im(f)=[-4;\infty[[/tex3], as raízes são [tex3]0[/tex3] e [tex3]4[/tex3], no intervalo aonde [tex3]x \geq 2[/tex3] é estritamente crescente, pois [tex3]x_1\lt x_2[/tex3] e [tex3]f(x_1)\lt f(x_2)[/tex3] e no intervalo aonde [tex3]x\leq 2[/tex3] é estritamente decrescente, pois [tex3]x_1\lt x_2[/tex3] e [tex3]f(x_1)\gt f(x_2)[/tex3] e a variação de sinal fica assim, [tex3]f(x)\geq 0[/tex3] se [tex3]x\leq 0[/tex3] ou [tex3]x\geq 4[/tex3] ou seja dentro desse intervalo a função f é neutra ou positiva e [tex3]f(x)\lt 0[/tex3] se [tex3]0\lt x\lt 4[/tex3], ou seja dentro desse intervalo a função f é negativa.

Chamaremos a função do gráfico 2 de [tex3]g(x)[/tex3], ok?
para [tex3]g(x)[/tex3], temos:


[tex3]D(g)=]-1;\infty[[/tex3], [tex3]Im(g)=\mathbb{R}[/tex3], a raíz é [tex3]0[/tex3], a função g é estritamente crescente [tex3]\forall x\in D(g)[/tex3] e a variação de sinal, quando [tex3]-1 \lt x \lt 0[/tex3] , [tex3]g(x) \lt 0[/tex3], ou seja a função g é negativa e quando [tex3]x\geq 0[/tex3], [tex3]g(x)\geq 0[/tex3], ou seja a função g é neutra ou positiva.
[tex3]OBS^*:[/tex3] a função g é uma possível função logaritma, caso seja jamais teriamos [tex3]g(x)=0[/tex3] quando [tex3]x=0[/tex3], porém considerel o gráfico proposto.

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No grafico 3 chamaremos a função de [tex3]h(x)[/tex3]
para [tex3]h(x)[/tex3], temos:


[tex3]D(h)=\mathbb{R}[/tex3], [tex3]Im(h)=\mathbb{R_+^*}[/tex3], [tex3]h(x)[/tex3] não possuiu raízes reais, [tex3]h(x)[/tex3] é estritamente decrescente [tex3]\forall x\in D(h)[/tex3] e na variação de sinal temos, [tex3]h(x)\gt 0[/tex3], [tex3]\forall x\in D(h)[/tex3], ou seja essa função é sempre positiva.


No gráfico 4 chamaremos a função de [tex3]p(x)[/tex3]
para [tex3]p(x)[/tex3], temos:


[tex3]D(p)=\mathbb{R}[/tex3] caso a linha amarela do gráfico seja uma forma de limitar o gráfico da função então o [tex3]D(p)=[/tex3], [tex3]Im(p)=\mathbb{R}[/tex3], as raízes são -2,-1 e 2.

para sabermos os intervalos de crescimento e decrescimento de forma mais detalhada, podemos fazer assim:

[tex3]p(x)=ax^2+bx+c[/tex3], para [tex3]x\geq 0[/tex3], o gráfico demonstra que [tex3]a\gt 0[/tex3], [tex3]c=-4[/tex3] e uma das ráizes é 2 que vamos chamar de [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3], então [tex3]x_1=2[/tex3], ok?

precisamos achar [tex3]x_v[/tex3] e [tex3]y_v[/tex3] da função p para determinar sua simetria.

[tex3]Soma=-\frac{b}{a}=x_1+x_2=2+x_2[/tex3]
[tex3]Produto=\frac{c}{a}=x_1.x_2=-\frac{4}{a}=2.x_2[/tex3]

[tex3]\begin{cases}-\frac{b}{a}=2+x_2\\-\frac{4}{a}=2.x_2\end{cases}[/tex3] [tex3]\leftrightarrow[/tex3] [tex3]\begin{cases}-\frac{b}{a}=2+x_2\\-\frac{2}{a}=x_2\end{cases}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]-\frac{b}{a}=-\frac{2}{a}+2[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]b=2-2a[/tex3].

sabemos que [tex3]x_v=-\frac{b}{a}=\frac{2a-2}{2a}=\frac{a-1}{a}[/tex3]

e também sabemos que [tex3]y_v=-6=-\frac{(b^2-4ac)}{4a}=-\frac{[(2-2a)^2-4.-4.a]}{4a}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]-\frac{(4-8a+4a^2+16a)}{4a}=-6[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]4a^2-16a+4=0[/tex3], então [tex3]a=2+\sqrt{3}[/tex3] ou [tex3]a=2-\sqrt{3}[/tex3]

sabemos que [tex3]x_v\gt 0[/tex3] então [tex3]2+\sqrt{3}[/tex3] , pois se usarmos outro valor [tex3]x_v[/tex3] será negativo.

então [tex3]x_v=\frac{a-1}{a}=\frac{2+\sqrt{3}-1}{2+\sqrt{3}}=\frac{1+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}[/tex3], racionalizando temos, [tex3]x_v=\sqrt{3}-1[/tex3], então:

a função p é estritamente crescente para [tex3]x\geq\sqrt{3}-1[/tex3], estritamente decrescente para [tex3]-\frac{3}{2}\leq x\leq\sqrt{3}-1[/tex3] e estritamente crescente para [tex3]x\leq -\frac{3}{2}[/tex3], a variação do sinal fica, [tex3]p(x)\geq 0[/tex3] quando [tex3]-2\leq x\leq -1[/tex3] ou [tex3]x\geq 2[/tex3], ou seja função é positiva ou neutra nesse intervalos, [tex3]p(x)\lt 0[/tex3] quando [tex3]x\lt 2[/tex3] ou [tex3]-1\lt x\lt 2[/tex3].