Demonstrações ⇒ Demonstração - Distância entre circuncentro e incentro Tópico resolvido

[theblackmamba]

Demonstrar que em todo triângulo, a relação entre os raios [tex3]R[/tex3] e [tex3]r[/tex3] das circunferências circunscrita e inscrita e a distância [tex3]\ell[/tex3] entre os centros destas circunferências é:

[tex3]\ell^2 = R^2 - 2Rr[/tex3].

[VALDECIRTOZZI]

Consideremos a figura:

circuncentro incentro.jpg (47.49 KiB) Exibido 3935 vezes

Seja [tex3]O[/tex3] o ciruncentro e [tex3]I[/tex3] o incentro.
[tex3]\overline{AI}[/tex3] é a bissetriz do [tex3]\angle BAC[/tex3]
[tex3]\overline{BI}[/tex3] é a bissetriz do [tex3]\angle ABC[/tex3]
[tex3]\overline{PQ}[/tex3] é a mediatriz do lado [tex3]\overline{BC}[/tex3]
[tex3]R[/tex3] é o raio da circunferência circunscrita
[tex3]r[/tex3] é o raio da circunferência inscrita

[tex3]m \overline{IO}[/tex3] é o que procuramos.

O [tex3]\Delta PBQ[/tex3] é retângulo, então podemos escrever: [tex3]\left(\overline{PB}\right)^2=\overline{PD} \cdot \overline{PQ}[/tex3] [tex3](I)[/tex3]

Pela análise da figura, verifica-se que o [tex3]\Delta BPI[/tex3] é isósceles, sendo [tex3]\overline{PB}=\overline{PI}[/tex3]. [tex3](II)[/tex3]

Por outro lado, [tex3]\Delta IRO[/tex3] é retângulo, aplicando o Teorema de Pitágoras:
[tex3]\left(\overline{IO}\right)^2=\left(\overline{RI}\right)^2+\left(\overline{RO}\right)^2[/tex3] [tex3](III)[/tex3]

Da mesma forma, [tex3]\Delta PRI[/tex3] é retângulo, aplicando o Teorema de Pitágoras:
[tex3]\left(\overline{PI}\right)^2=\left(\overline{RI}\right)^2+\left(\overline{PR}\right)^2[/tex3] [tex3](IV)[/tex3]

Fazendo [tex3]III-IV[/tex3]:
[tex3]\left(\overline{IO}\right)^2-\left(\overline{PI}\right)^2=\left(\overline{RO}\right)^2-\left(\overline{PR}\right)^2[/tex3]
[tex3]\left(\overline{IO}\right)^2=\left(\overline{PI}\right)^2+\left(\overline{RO}\right)^2-\left(\overline{PR}\right)^2[/tex3]

Substituindo [tex3]II[/tex3]:
[tex3]\left(\overline{IO}\right)^2=\left(\overline{PB}\right)^2+\left(\overline{RO}\right)^2-\left(\overline{PR}\right)^2[/tex3]

Substituindo [tex3]I[/tex3]:
[tex3]\left(\overline{IO}\right)^2=\overline{PD} \cdot \overline {PQ}+\left(\overline{RO}\right)^2-\left(\overline{PR}\right)^2[/tex3]

Fazendo as substituições tendo base a figura acima:
[tex3]\left(\overline{IO}\right)^2=\overline{PD} \cdot 2R+\left(\overline{RO}\right)^2-\left(\overline{PO}+\overline{RO}\right)^2[/tex3]

[tex3]\left(\overline{IO}\right)^2=\overline{PD} \cdot 2R+\left(\overline{RO}\right)^2-\left(R+\overline{RO}\right)^2[/tex3]

[tex3]\left(\overline{IO}\right)^2=\overline{PD} \cdot 2R+\cancel{\left(\overline{RO}\right)^2}-R^2-2R\overline{RO}-\cancel{\left(\overline{RO}\right)^2}[/tex3]

[tex3]\left(\overline{IO}\right)^2=\overline{PD} \cdot 2R-R^2-2R\overline{RO}[/tex3]

[tex3]\left(\overline{IO}\right)^2=(R-\overline{OD}) \cdot 2R-R^2-2R(r-\overline{OD})[/tex3]

[tex3]\left(\overline{IO}\right)^2=2R^2\cancel{-2R\overline{OD}}-R^2-2Rr\cancel{+2R\overline{OD}}[/tex3]

[tex3]\left(\overline{IO}\right)=R^2-2Rr[/tex3]

Espero ter ajudado!

[theblackmamba]

Muito obrigado ValdecirTozzi,
Foi bem explicativa!
Vou movê-la para o espaço de demonstrações.

Abraço.