Pré-Vestibular ⇒ (UFMG - 1999) Geometria - Trigonometria Tópico resolvido

[theblackmamba]

.....png (5.73 KiB) Exibido 1459 vezes

Nessa figura, [tex3]O[/tex3] é centro do semicírculo de diâmetro [tex3]AD[/tex3], [tex3]AC = CO[/tex3], [tex3]B\hat{A}D=\phi[/tex3] e [tex3]B\hat{C}D = \theta[/tex3].
Demonstre que [tex3]\frac{1}{\tg\phi} + \frac{1}{\tg(2\phi)} = \frac{2}{\tg\theta}[/tex3].

[theblackmamba]

Alguém ???

[cajuADMIN]

Olá theblackmamba,

Pela propriedade de arcos inscritos em um círculo, temos a seguinte propriedade:

png.png (10.94 KiB) Exibido 1394 vezes

O arco central BOD vale o dobro do arco BAD inscrito.

Sendo assim, podemos olhar para os triângulos e tirar o valor das tangentes envolvidas no enunciado

[tex3]\tan(\phi )=\frac{h}{r+x}\rightarrow \boxed{\frac{1}{\tan(\phi )}=\frac{r+x}{h}}[/tex3]

[tex3]\tan(2\phi )=\frac{h}{x}\rightarrow \boxed{\frac{1}{\tan(2\phi )}=\frac{x}{h}}[/tex3]

[tex3]\tan(\theta )=\frac{h}{\frac{r}{2}+x}\rightarrow\frac{1}{\tan(\theta )}=\frac{r+2x}{2h}\rightarrow \boxed{\frac{2}{\tan(\theta )}=\frac{r+2x}{h}}[/tex3]

Note que, se somarmos as duas primeiras caixinhas, obteremos exatamente a terceira, provando o que o enunciado pedia.

Grande abraço,
Prof. Caju