IME / ITA ⇒ Solução Alternativa - Problema 60 - Maratona IME/ITA II Tópico resolvido

[poti]

Ele quer: [tex3]\frac{m}{np}+ \frac{n}{mp} + \frac{p}{mn} = \frac{m^3 np + n^3 mp + p^3 mn}{(mnp)^2} = \frac{m^2 + n^2 + p^2}{mnp} = \frac{m^2 + n^2 + p^2}{2}[/tex3]

Montando um polinômio onde [tex3](m,n,p)[/tex3] são raízes:

[tex3]P(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C[/tex3]

Por Girard:

[tex3]m + n + p = -A,\, mn + mp + np = B,\, mnp = -C[/tex3]

[tex3]P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 2[/tex3]

Pelo Teorema de Newton:

[tex3]S_2 - 6S_1 + 11S_0 - 2S_{-1} = 0[/tex3]

[tex3](m^2 + n^2 + p^2) - 6\cdot (m^1 + n^1 + p^1) + 11(m^0 + n^0 + p^0) - 2(m^{-1} + n^{-1} + p^{-1}) = 0[/tex3]

[tex3]S_2 - 6\cdot 6 + 11\cdot 3 - 2\(\frac{mn + mp + np}{mnp}\) = 0[/tex3]

[tex3]S_2 - 3 - \cancel{2}\(\frac{11}{\cancel{2}}\) = 0[/tex3]

[tex3]\boxed{S_2 = 14}[/tex3]

[tex3]\therefore \frac{m^2 + n^2 + p^2}{2} = \frac{14}{2} = \boxed{7}[/tex3]

[BrunoCFS]

Poti, na sua resolução eu entendi até certa parte, mas não consegui entender como você descobriu os coeficiente do polinômio P(x). Pois você utilizou a relação de Girard e isso eu entendi, mas logo depois você colocou o polinômio com seus respectivos coeficientes ai eu não consegui acompanhar seu pensamento.

Como que você prosseguiu ?