Ensino Superior ⇒ (ESAMC - 2012) Matematica Aplicada, conjunto solução Tópico resolvido

[Hellsius]

Pessoal, eu tenho 3 exercicios de equação de segundo grau com modulo, cheguei a fazer, mas não sei se esta certo e não tenho certeza se sei fazer, gostaria que me ajuda-sem nos exercicios. Segue os exercicios abaixo:

Considere as equações modulares abaixo. Determine o Conjunto Solução.
51) [tex3]|x|^2 -4. |x| -5=0[/tex3]
52) [tex3]14 |x|^2 -13. |x|+3=0[/tex3]
53) [tex3]|x|^2 +7.|x|+12=0[/tex3]


Obs: Na 51 deu que X1=1 e X2=-5
A 52 não consegui fazer direito.

[olgario]

Olá Hellsius !

Então vamo lá.
É bom lembrarmos uma das propriedades dos Módulos segundo a qual:[tex3]\;|x|^2=|x|^2=x^2[/tex3].

Agora basta usar a técnica de substituição para facilitar a resolução.

Façamos:

[tex3]|x|=y[/tex3]

[tex3]14|x|^2-13|x|+3=0[/tex3]

[tex3]14y^2-13y+3=0[/tex3]

[tex3]y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}\;\rightarrow\;y=\frac{-(-13)\pm\sqrt{13^2-4\cdot 14\cdot 3}}{2\cdot 14}\;\rightarrow\;y=\frac{13\pm\sqrt{13^2-4\cdot 14\cdot 3}}{2\cdot 14}\;\rightarrow\;y=\frac{13\pm\sqrt{169-168}}{28}\;\rightarrow\;[/tex3]

[tex3]\rightarrow\;y=\frac{13\pm\sqrt{1}}{28}\;\rightarrow\;y=\frac{13\pm1}{28}\;\rightarrow\begin{cases} y_1=\frac{13+1}{28}=\frac{14}{28}=\boxed{\frac{1}{2}}\\
y_2=\frac{13-1}{28}=\frac{12}{28}=\boxed{\frac{3}{7}}\end{cases}\rightarrow[/tex3]

Mas ainda não encontramos a solução da equação. Devemos voltar à substituição feita anteriormente.

[tex3]|x|=y\text{ }|x|=y[/tex3]
[tex3]|x|=\frac{1}{2}\text{ }|x|=\frac{3}{7}[/tex3]

[tex3]\text{ logo: logo: }[/tex3]

[tex3]x=\frac{1}{2}\text{ ou }x=-\frac{1}{2}\text{ }x=\frac{3}{7}\text{ ou }x=-\frac{3}{7}[/tex3]

Portanto, o conjunto solução da equação é:

[tex3]S=\left\{\pm\frac{\,1\,}{2}\;,\,\pm\frac{\,3\,}{7}\right\}[/tex3]

Para as outras duas, o processo de resolução é igual.

Um abraço.

[Hellsius]

Obrigado pela resposta, vou olhar ela com calma e dou um parecer.