Pré-Vestibular ⇒ (UEFS-2010/2) Combinatória Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

Um grupo de oito jovens vai ao teatro e compra ingressos,de modo ocupar toda uma fileira que tem exatamente oito poltronas. Dois desses jovens [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y[/tex3], são namorados e fazem questão de sentarem juntos, ocupando as poltronas centrais ou as poltronas das extremidades da fileira. Sendo [tex3]T[/tex3] o número de formas distintas de todos se acomodarem, o valor de [tex3]\sqrt{\frac{T}{30}}[/tex3] é

A) 5
B) 8
C) 9
D) 12
E) 13

[theblackmamba]

Nas poltronas extremas:
Temos 1 possibilidade de o casal sentar e 6! maneiras de os outros jovens sentarem. Mas o casal pode de lugar entre si, portanto devemos multiplicar esse resultado por 2:
[tex3]P_1 = 1 \cdot 2 \cdot 6![/tex3]

Da mesma maneira que a primeira, o casal sentando na outra extremidade ou nas poltronas centrais, haverá 6! possbilidades maneiras dos outros jovens sentarem e duas mudanças entre os casais. Portanto:

[tex3]P_2=1 \cdot 2 \cdot 6![/tex3]

[tex3]P_3 = 1 \cdot 2 \cdot 6![/tex3]

[tex3]T= P_1+P_2+P_3[/tex3]
[tex3]T=3 \cdot 2 \cdot 6! = 6 \cdot 720[/tex3]

Logo,
[tex3]\sqrt{\frac{T}{30}} = \sqrt{\frac{720 \cdot 6}{30}} = \sqrt{144}=\boxed{12}[/tex3]