Olimpíadas ⇒ (Latvian - 1997) Número de digitos iguais a 1 Tópico resolvido

[theblackmamba]

Quantos dígitos de [tex3]n=9+99+999+...+\underbrace{99...9}_{2001}[/tex3] são iguais a [tex3]1[/tex3] ?

[tex3]a)\ 1997[/tex3]
[tex3]b)\ 1998[/tex3]
[tex3]c)\ 1999[/tex3]
[tex3]d)\ 2000[/tex3]
[tex3]e)\ 2001[/tex3]

Resposta

---

B

[FilipeCaceres]

Olá theblackmamba,

O truque é o mesmo de sempre:
[tex3]\underbrace{111...11}_{n}=\frac{10^n-1}{9}[/tex3]

Vamos reescrever a equação dada
[tex3]S=(10^1-1)+(10^2-1)+(10^3-1)+...+(10^{2001}-1)[/tex3]
[tex3]S=10^1+10^2+10^3+...+10^{2001}-2001[/tex3]
[tex3]S=\underbrace{11111...11110}_{2001\,\,1's} -2001[/tex3]
[tex3]S=\underbrace{11111...09109}_{1998\,\,1's}[/tex3]. Letra B

Abraço.

[Cássio]

Olá Theblackmamba!

Veja:


[tex3]n=(9+1)+(99+1)+(999+1)+...+(\underbrace{999...99}_{2001}+1)-2001 = 10+100+1000+...+\underbrace{100...00}_{2002}-2001=[/tex3]

[tex3]10\cdot \dfrac{10^{2001}-1}{9}-2001= \underbrace{111...110}_{2002}-2001=\underbrace{111...119109}_{2001}[/tex3]

Temos 1997 "uns" seguidos, depois mais um [tex3]"1"[/tex3] depois do 9, totalizando 1998 "uns".