Olimpíadas ⇒ Número irracional Tópico resolvido

[theblackmamba]

Seja [tex3]n>1[/tex3] um inteiro, Prove que o número [tex3]\sqrt{\underbrace{11...}_{2n}\underbrace{144...4}_n}[/tex3] não é racional.

[emanuel9393MOD]

Olá, theblackmamba!


Eu fiz o seguinte:

[tex3]\sqrt{\underbrace{11111....}_{2n} \underbrace{4444...}_{n}} \\ = \, \sqrt{4 \, \cdot \, \left(\frac{10^{2n} \, - \, 1}{9} \right) \, \cdot \, \left(\frac{10^{n} \, - \, 1}{9} \right)} \\[/tex3]

Faça [tex3]10^{n} \, = \, l[/tex3], temos:


[tex3]\sqrt{4 \, \cdot \, \left(\frac{l^{2} \, - \, 1}{9} \right) \, \cdot \, \left(\frac{l \, - \, 1}{9} \right)} \\ = \, \sqrt{4 \, \cdot \, \left(\frac{\left(l \, - \, 1\right) \, \left(l \, + \, 1 \right)}{9} \right) \, \cdot \, \left(\frac{\left(l \, - \, 1\right)}{9} \right)} \\ = \, \sqrt{4 \, \cdot \, \left(\frac{l \, - \, 1}{9} \right)^{2} \, \cdot \, \left(l \, + \, 1 \right)} \\ = \, 2 \, \cdot \, \left(\frac{l \, - \, 1}{9} \, \cdot \, \right) \sqrt{ \left(l \, + \, 1\right)}[/tex3]


Como sabemos, [tex3]\sqrt{ \left(l \, + \, 1\right)}[/tex3] não é racional. Logo o número [tex3]\sqrt{\underbrace{11111....}_{2n} \underbrace{4444...}_{n}}[/tex3] não é racional.



Acho que é assim que se demonstra.


Um abraço!

[Cássio]

Acho que houve uma divergência entre o valor considerado pelo Emanuel9393 e o valor postado pelo Theblackmamba.

1- Theblackmamba, o valor que você quis escrever era esse mesmo [tex3]\underbrace{111...1}_{2n}\underbrace{144...44}_{n}[/tex3] ou era [tex3]\underbrace{111...1}_{2n}\underbrace{444...4}_{n}[/tex3] ? Porque o número que você escreveu, ao meu ver, seria a mesma coisa que [tex3]\underbrace{111...1}_{2n+1}\underbrace{444...4}_{n-1}.[/tex3]

2 - Acho que o Emanuel9393 confundiu, pois no enunciado aquilo é um número só e não um produto (pelo menos foi assim que interpretei.)

Até mais!

[emanuel9393MOD]

Olá, Cassio!



Eu acredito que o número em questão é um produto e que o valor seria [tex3]\underbrace{1111...}_{2n} \underbrace{444....}_{n}[/tex3]. Depois do que você falou, a questão não torna claro se é um produto ou não.




Um abraço!

[Cássio]

Olá, Cassio!



Eu acredito que o número em questão é um produto e que o valor seria [tex3]\underbrace{1111...}_{2n} \underbrace{444....}_{n}[/tex3]. Depois do que você falou, a questão não torna claro se é um produto ou não.




Um abraço!

Acredito que se fosse um produto, o ponto "[tex3]\cdot[/tex3]" que indica multiplicação deveria mais ou menos no meio. Normalmente em número com reticência daquela forma indica que os algarismo se repetem. De preferência seria bom colocar entre parênteses para deixar mais claro [tex3][(\underbrace{111...1}_{2n})\cdot(\underbrace{444...4}_{n})][/tex3].

Até!

[theblackmamba]

Porque o número que você escreveu, ao meu ver, seria a mesma coisa que [tex3]\underbrace{111...1}_{2n+1}\underbrace{444...4}_{n-1}.[/tex3]

Olá a todos o enunciado é exatamnete este !

Abraços.

[Cássio]

Vou fazer uma coisa um tanto quanto menos rigorosa, pois não consigo fazer o desenho que desejo para explicar.

Sabemos que um número inteiro é um quadrado perfeito e sua raiz é inteira ou o número não é quadrado perfeito e sua raiz é irracional. Vou tentar provar que aquele número não é quadrado perfeito.

Como o número termina em 4, o último algarismo da raiz deve ser um 2. Talvez não seja difícil explicar que os dois últimos algarismos de um quadrado perfeito vai depender basicamente dos dois últimos algarismos de sua raiz. Na verdade, os últimos dois algarismo de um produto [tex3]A\cdot B[/tex3] depende, basicamente, dos últimos dois dígitos de [tex3]A[/tex3] e [tex3]B.[/tex3]

Fazendo uma análise:

Se um número termina em [tex3]12,[/tex3] seu quadrado termina em [tex3](12^2=1\underbrace{44})[/tex3] "44".

Analisando os casos em que o número termina em [tex3]22,\ 32,\ 42,...,\ 92,[/tex3] vamos ver que nunca o quadrado do número vai terminar em "[tex3]44[/tex3]". Logo, se [tex3]\underbrace{111...1}_{2n+1}\underbrace{444...4}_{n-1}[/tex3] for um quadrado perfeito, então sua raiz termina em "[tex3]12[/tex3]".

Suponha que um número que tem mais de 3 algarismos, tenha seus últimos 3 algarismos como [tex3]N12.[/tex3] Note que os três últimos algarismos do quadrado desse número vão depender basicamente dos três últimos algarismos dele.

Se o número termina em [tex3]N12,[/tex3] então seu quadrado deve terminar em

Para [tex3]N=\{0,5\},\ \ \ \ \ \ \ \ (N12)^2[/tex3] termina em [tex3]144.[/tex3]

Para [tex3]N=\{1,6\} \ \ \ \ \ \ (N12)^2[/tex3] termina em [tex3]544[/tex3]

Se [tex3]n=\{2,7\}, \ \ \ \ \ \ \ (N12)^2[/tex3] termina em [tex3]944.[/tex3]

Para [tex3]N=\{3,8\} \ \ \ \ \ \ \ (N12)^2[/tex3] termina em [tex3]344.[/tex3]

Para [tex3]N=\{4,9\} \ \ \ \ \ \ \ (N12)^2[/tex3] termina em [tex3]744.[/tex3]

Ou seja, nenhum quadrado perfeito com mais de 3 dígitos termina em [tex3]444,[/tex3] logo o número [tex3]\underbrace{111...1}_{2n+1}\underbrace{444...4}_{n-1}[/tex3] não pode ser uma quadrado perfeito, para todo [tex3]n\ge 4.[/tex3] Para os casos em que [tex3]n<4,[/tex3] podemos verificar manualmente.

Resposta

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Eu sei que ficou uma coisa sem fundamentos, mas a minha idéia basicamente é mostrar que não existe quadrado perfeito que termine em três "4" seguidos.