IME/ITA ⇒ (Simulado ITA - 2007) Pêndulo Tópico resolvido

[theblackmamba]

Um pêndulo é abandonado do repouso da posição horizontal [tex3]\text{A}[/tex3] num local em que a gravidade vale [tex3]\text{g}[/tex3] como mostra a figura abaixo. A aceleração resultante da bolinha do pêndulo, em função do ângulo [tex3]\text{\alpha}[/tex3], é dada por:

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[tex3]\text{a)\,g\cdot \sqrt{3sin^2\alpha + 1}}[/tex3]
[tex3]\text{b)\,g\cdot \sqrt{3cos^2\alpha + 1}}[/tex3]
[tex3]\text{c)\,2g\cdot \sqrt{sin^2\alpha + 1}}[/tex3]
[tex3]\text{d)\,2g\cdot \sqrt{cos^2\alpha + 1}}[/tex3]
[tex3]\text{e)\,g}[/tex3]

Resposta

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A

[theblackmamba]

Após descer uma altura [tex3]H = L \cdot sin\alpha[/tex3], o pêndulo atinge uma velocidade [tex3]v = \sqrt{2 g H} = \sqrt{2gLsin\alpha}[/tex3] (obtido facilmente por conservação de energia mecânica). Ao passar pelo ponto B, na direção radial (centrípeta), pela 2ª lei de Newton, temos:

[tex3]F_{Rctp}=T- Psin\alpha=M \cdot a_{ctp}[/tex3]

Entretanto, para determinar a aceleração centrípeta no ponto B, nem precisamos determinar a tração T no fio ao passar pelo ponto B, visto que a velocidade [tex3]v_b[/tex3] já foi determinada anteriormente por conservação de energia. Conhecendo [tex3]v_b[/tex3], determinamos a aceleração centrípeta no ponto B diretamente:

[tex3]a_{ctp}=\frac{V^2}{R}=\frac{2gLsin\alpha}{L}=2gsin\alpha[/tex3]

Sua aceleração tangencial é causada pela componente tangencial da força peso:[tex3]F_{Rtg} = M \cdot a_{tg}\Rightarrow[/tex3] [tex3]Mgcos\alpha = M \cdot a_{tg} \Rightarrow a_{tg} = gcos\alpha[/tex3]. Assim, podemos prontamente determinar a aceleração resultante [tex3](a_R)^2 = (a_{tg})^2 + (a_{ctp})^2.[/tex3] substituindo os valores, obtemos: [tex3]\boxed{a_R = \sqrt{g \cdot 3sin^2 \alpha + 1}}[/tex3]

Créditos: Renato Brito