IME / ITA ⇒ (IME - 2008) Função Inversa e Função Composta Tópico resolvido

[Alexandre_SC]

Sejam [tex3]f(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}[/tex3] e g(x) = [tex3]e^x[/tex3] e [tex3]h(x) = g(f^{-1}(x))[/tex3] Se os valores da base e da altura de um triângulo são definidos por h(0,5) e h(0,75) respectivamente, a área desse triângulo é igual a:

A) [tex3]\frac{e}{2}[/tex3]

B) [tex3]\frac{\sqrt{7}}{2}[/tex3]

C) [tex3]\frac{\sqrt{21}}{2}[/tex3]

D) [tex3]\sqrt{10}[/tex3]

E) e

[Alexandre_SC]

para definir h precisamos definir

[tex3]f^{-1}(x)[/tex3]

[tex3]x = \frac{e^y-e^{-y}}{e^y+e^{-y}}[/tex3]

[tex3]e^y-e^{-y} = x(e^y+e^{-y})[/tex3] multiplicando por [tex3]e^y[/tex3]

[tex3]e^{2y}-1 = x (e^{2y}+1)[/tex3]

[tex3]e^{2y}(1-x) = 1+x[/tex3]

[tex3]e^{2y} = \frac{1+x}{1-x}[/tex3]

[tex3]2y = ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)[/tex3]

[tex3]f^{-1}(x) = \frac{ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}{2}[/tex3]

como [tex3]h(x) = e^{f^{-1}(x)}[/tex3]

podemos simplificar

[tex3]h(x) = e^{\frac{ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}{2}} = \sqrt{e^{ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}} = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}[/tex3]


então a área é:

[tex3]h\left(\frac 1 2\right) = \sqrt{\frac{1+\frac 1 2}{1-\frac 1 2}} =\sqrt{\frac{\frac{2+1}{2}}{\frac{2-1}{2}}} = \sqrt{3}[/tex3]

[tex3]h\left(\frac 3 4\right) = \sqrt{\frac{1+\frac 3 4}{1-\frac 3 4}} =\sqrt{\frac{\frac{4+3}{4}}{\frac{4-3}{4}}} = \sqrt{7}[/tex3]

então a área

[tex3]\frac{h\left(\frac 1 2\right)\cdot h\left(\frac 3 4\right)}{2} = \frac{\sqrt{7}\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{21}}2[/tex3]