Pré-Vestibular ⇒ (UFV-MG 2010/2012) Funções Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

Considere as funções [tex3]f(x)=x^2+5x+6[/tex3] e [tex3]g(x)=x+3a[/tex3],a [tex3]\in{R}[/tex3]. Para que [tex3][f(g(x))]=0[/tex3] tenha duas raízes reais de sinais contrários,é CORRETO afirmar que:
A) [tex3]\frac{2}{3}<a<1[/tex3]
B) [tex3]4<a<5[/tex3]
C) [tex3]-1<a<-\frac{2}{3}[/tex3]
D) [tex3]-5<a<-4[/tex3]

Resposta

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B

[FilipeCaceres]

Olá jose carlos de almeida,

Do enunciado tiramos,
[tex3][f(g(x))]=0[/tex3]

Assim temos,
[tex3](x+3a)^2+5(x+3a)+6=0[/tex3]
[tex3]x^2+(5+6a)x+(9a^2+15a+6)=0[/tex3]

Para que as raízes sejam de sinais contrárias, basta que o produta das raízes seja negativo [tex3](P<0)[/tex3], logo
[tex3]1\cdot (9a^2+15a+6)<0[/tex3]
[tex3]9a^2+15a+6<0[/tex3]

Tem concavidade voltada para cima e as raízes são:
[tex3]a=-1[/tex3]
[tex3]a=-\frac{2}{3}[/tex3]

Portanto o invertado desejado vale:
[tex3]\boxed{-1<a<-\frac{2}{3}}[/tex3]. Letra C

Acho que a tua apostila está com problema nos gabaritos.

Abraço.

[jose carlos de almeida]

Caro FilipeCaceres,sua resposta está corretíssima,eu que transcrevi a resposta errada.
Mil perdões e obrigado.